江苏省园三2020-2021学年高二下学期数学3月月考试卷

试卷更新日期：2021-04-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = x^{2} - \sin x$ 在[0，π]上的平均变化率为（）

A、1 B、2 C、π D、 $π^{2}$

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2. 将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（）

A、 $3^{4}$ B、 $4^{3}$ C、 $A_{4}^{3}$ D、 $C_{4}^{3}$

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3. 3名男生和2名女生排成一排，则女生互不相邻的排法总数为（）

A、120 B、12 C、60 D、72

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4. 函数 $y = \frac{\sin π x}{| 2 x - 1 |}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（）

A、100种 B、60种 C、42种 D、25种

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6. 若函数 $e^{x} f (x)$ (e=2.71828 $\dots$ ，是自然对数的底数)在 $f (x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $f (x)$ 具有M性质，下列函数中具有M性质的是（）

A、 $f (x) = 2^{- x}$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = 3^{- x}$ D、 $f (x) = \cos x$

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7. 已知函数 $f (x)$ 导函数为 $f^{'} (x)$ ，在 $(0 ， + \infty)$ 上满足 $x f^{'} (x) > f (x)$ ，则下列一定成立的是（）

A、 $2020 f (2021) > 2021 f (2020)$ B、 $f (2020) > f (2021)$ C、 $2020 f (2021) < 2021 f (2020)$ D、 $f (2020) < f (2021)$

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8. 已知函数 $f (x) = \ln x + (1 - a) x + a (a > 0)$ ，若有且只有两个整数 $x_{1}, x_{2}$ 使得 $f (x_{1}) > 0$ ，且 $f (x_{2}) > 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3 + \ln 3}{2})$ B、 $(0, 2 + \ln 2)$ C、 $[\frac{3 + \ln 3}{2}, 2 + \ln 2)$ D、 $[\frac{2 \ln 2 + 4}{3}, \frac{3 + \ln 3}{2})$

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二、多选题

9. 下列等式中，成立的有（）

A、 $A_{n}^{m} = \frac{n!}{m!}$ B、 $C_{n}^{m - 1} + C_{n}^{m} = C_{n + 1}^{m}$ C、 $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ D、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1 ， 5]$ ，部分函数值如表1， $f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图1.下列关于函数 $f (x)$ 的性质，正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 是减函数 B、如果当 $x \in [- 1 ， t]$ 时， $f (x)$ 的最大值是2，那么 $t$ 的最大值为4 C、函数 $y = f (x) - a$ 有4个零点，则 $1 \leq a < 2$ D、函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 取得极大值

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11. 若实数 $a < b$ ，则下列不等关系正确的是（）

A、 ${(\frac{2}{5})}^{b} < {(\frac{2}{5})}^{a} < {(\frac{3}{5})}^{a}$ B、若 $a > 1$ ，则 $\log_{a} a b > 2$ C、若 $a > 0$ ，则 $\frac{b^{2}}{1 + a} > \frac{a^{2}}{1 + b}$ D、若 $m > \frac{5}{3}$ ， $a$ ， $b \in (1, 3)$ ，则 $\frac{1}{3} (a^{3} - b^{3}) - m (a^{2} - b^{2}) + a - b > 0$

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12. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（）

A、若任意选择三门课程，选法总数为 $A_{7}^{3}$ B、若物理和化学至少选一门，选法总数为 $C_{2}^{1} C_{6}^{2}$ C、若物理和历史不能同时选，选法总数为 $C_{7}^{3} - C_{5}^{1}$ D、若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 $C_{2}^{1} C_{5}^{2} - C_{5}^{1}$

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三、填空题

13. 若商品的年利润 $y$ （万元）与年产量 $x$ （百万件）的函数关系式为 $y = - x^{3} + 27 x + 123 (x > 0)$ ，则获得最大利润时的年产量为百万件．

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14. 计算 $C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + C_{6}^{2} =$ .

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15. 某部队在一次军演中要先后执行 $A, B, C, D, E, F$ 六项不同的任务，要求是：任务 $A$ 必须排在前三项执行，且执行任务 $A$ 之后需立即执行任务 $E$ ，任务 $B, C$ 不能相邻，则不同的执行方案共有种．（用数字作答）

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16. 规定 $A_{x}^{m} = x (x - 1) \dots (x - m + 1)$ ，其中 $x \in R$ ， $m \in N^{*}$ ，且 $A_{x}^{0} = 1$ ，这是排列数 $A_{n}^{m}$ （ $n ， m \in N^{*}$ ，且 $m \leq n$ ）的一种推广.则 $A_{\sqrt{3} + 1}^{3} =$ ，则函数 $f (x) = A_{x}^{3}$ 的单调减区间为.

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四、解答题

17.

(1)、已知 $f (x) = x^{2} + 2$ ，请用导数的定义证明： $f^{'} (x) = 2 x$ ；

(2)、用公式法求下列函数的导数：① $y = \ln x + \cos x$ ；② $y = \frac{\sin 2 x}{e^{x}}$ .

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18. 设函数 $f (x) = - \ln x + m x^{2} - 2 x$ (m $\in$ R).

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、当 $m = \frac{3}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调增区间.

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19. 从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表．

(1)、共有多少种不同的选派方法？

(2)、若女生甲必须担任语文科代表，共有多少种不同的选派方法？

(3)、若男生乙不能担任英语科代表，共有多少种不同的选派方法？
（注意：用文字简要叙述解题思路，然后列出算式求值．）

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - a^{2} x + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 1]$ 上的最大值；

(2)、当 $a \geq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值.

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21. 已知函数 $f (x) = x - a \ln x + \frac{b}{x}$ ，a，b $\in$ R.

(1)、若a>0，b>0，且1是函数 $f (x)$ 的极值点，求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值；

(2)、若b=a+1，且存在 $x_{0} \in$ [ $\frac{1}{e}$ ，1]，使 $f (x_{0}) < 0$ 成立，求实数a的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} (1 + m \ln x)$ ，其中 $m > 0$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，设 $h (x) = \frac{f^{'} (x)}{e^{x}}$ ，且 $h (x) \geq \frac{5}{2}$ 恒成立.

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、设函数 $f (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，函数 $f^{'} (x)$ 的极小值点为 $x_{1}$ ，求证： $x_{0} > x_{1}$ .

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