安徽省皖北名校2020-2021学年高二下学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-04-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x \geq 1$ ， $2 x - 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \geq 1$ ， $2 x - 1 \leq 0$ B、 $\exists x_{0} \geq 1$ ， $2 x_{0} - 1 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} < 1$ ， $2 x_{0} - 1 > 0$ D、 $\exists x_{0} < 1$ ， $2 x_{0} - 1 \leq 0$

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2. 在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的平均数为（）

A、12 B、10 C、8 D、6

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3. 已知函数 $f (x) = 2 x + 3 f^{'} (0) \cdot e^{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $\frac{3}{2} e$ B、 $3 - 2 e$ C、 $2 - 3 e$ D、 $2 + 3 e$

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左，右焦点分布为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线交于点P，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、9 B、16 C、20 D、25

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5. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程 $\hat{y} = 0.25 x + k$ ，

x（次数/分钟）

20

30

40

50

60

y（℃）

25

27.5

29

32.5

36

则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为（）

A、33℃ B、34℃ C、35℃ D、35.5℃

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $M$ 是 $B D$ 的中点，则 $B_{1} M$ 与平面 $A A_{1} D_{1} D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{30}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$

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7. 如图所示的是欧阳修的《卖油翁》中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片，中间有边长为1cm的正方形孔 $.$ 若随机向铜片上滴一滴水（水滴的大小忽略不计），则水滴正好落人孔中的概率是 $($ $)$

A、 $\frac{2}{π}$ B、 $\frac{1}{π}$ C、 $\frac{1}{2 π}$ D、 $\frac{1}{4 π}$

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8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家﹐他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 $x$ 的值为2，则输出 $v$ 的值为（）

A、6 B、14 C、16 D、38

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9. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ 在 $x = 1$ 处有极值，则 $f (2)$ 等于（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 中， $F$ 为右焦点， $B$ 为上顶点， $O$ 为坐标原点，直线 $y = \frac{b}{a} x$ 交椭圆于点 $C$ （点 $C$ 位于第一象限），若 $S_{△ B F O} = S_{△ B F C}$ ，则该椭圆的离心率等于（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} + 1}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2} - 1}{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} - 1}{3}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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11. “ $a < b$ ”是“ $\log_{3} a + \log_{\frac{1}{3}} b < \frac{1}{3^{a}} - \frac{1}{3^{b}}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{2} x^{2} - x \ln x (a \in R)$ ，若对任意 $x_{1} > x_{2} > 0$ ， $f (x_{1}) > f (x_{2})$ 恒成立，则a的取值范围为（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $[e ， + \infty)$ D、 $[1 ， e]$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = (2 x + 1) e^{x}$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程是．

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14. 如图，二面角 $α - l - β$ 为 $135 °$ ， $A \in α$ ， $B \in β$ ，过 $A$ ， $B$ 分别作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $C$ ， $D$ ，若 $A C = 1$ ， $B D = \sqrt{2}$ ， $C D = 2$ ，则 $A B$ 的长度为.

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15. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作斜率为2的直线 $l$ ，与该抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ O A B$ 的面积等于 $\sqrt{5}$ ( $O$ 为坐标原点)，则 $p =$ ．

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16. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F，过F且与C的一条渐近线垂直的直线l与C的右支交于点P，若A为PF的中点，且 $| O A | = \frac{3 b}{2} - a (O$ 为坐标原点 $)$ ，则C的离心率为.

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三、解答题

17. 已知 $p$ ：函数 $f (x) = x^{2} + 2 (a - 1) x + 2$ 在区间 $(- \infty, 3]$ 上不是减函数； $q$ ： $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + a \leq 0$ ．

(1)、若“ $p$ 且 $q$ ”为真，求实数 $a$ 的最大值；

(2)、若“ $p$ 或 $q$ ”为真，“ $p$ 且 $q$ ”为假，求实数 $a$ 的取值范围．

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18.

(1)、证明： $e^{x} \geq x + 1$ ；

(2)、证明： $\ln x \leq x - 1$ ；

(3)、比较 $e^{x - 1}$ 与 $\ln (x + 1)$ 的大小，无需说明理由．

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19. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = B B_{1} = 4$ ， $A C = A B_{1} = 2 \sqrt{5}$ ，且 $∠ B C C_{1} = 60 °$ .

(1)、求证：平面 $A B C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、设二面角 $C - A C_{1} - B$ 的大小为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的值.

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20. 一机构随机调查了某小区100人的月收入情况，将所得数据按 $[1000，2000)$ ， $[2000，3000)$ ， $[3000，4000)$ ， $[4000，5000)$ ， $[5000，6000)$ ， $[6000 ， 7000]$ （单位：元）分成六组，并且作出如图所示的频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；

(2)、根据题目分组情况，按分层抽样的方法在 $[1000，2000)$ ， $[5000，6000)$ ， $[6000 ， 7000]$ 三组中抽取6人，再从这6人中抽取2人，求至少有一人收入在 $[5000，6000)$ 的概率．

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21. 以抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的顶点为圆心的圆交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $D$ ， $E$ 两点.已知 $| A B | = 4 \sqrt{2}$ ， $| D E | = 2 \sqrt{5}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过 $(- 1, 0)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于不同的两点 $P$ ， $Q$ ，交直线 $x = - 4$ 于点 $G$ ( $Q$ 在 $P G$ 之间)，直线 $Q F$ 交直线 $x = - 1$ 于点 $H$ .是否存在这样的直线 $l$ ，使得 $G H // P F$ ( $F$ 为 $C$ 的焦点)？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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22. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ 的左､右焦点，过 $F_{2}$ 的直线 $2 x - 3 y - 2 = 0$ 与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点， $R$ 为 $P$ ， $Q$ 的中点，直线 $O R$ 的斜率为 $- 1$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 分别相交于 $A$ ， $B$ 两点，且与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ 相交于 $G$ ， $H$ 两点，求 $| A B | \cdot {| G H |}^{2}$ 的取值范围.

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x（次数/分钟）	20	30	40	50	60
y（℃）	25	27.5	29	32.5	36