云南省保山市腾冲市2019-2020学年八年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-04-14 类型：期中考试

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一、单选题

1. 如果 $\sqrt{1 - x}$ 有意义，那么 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq - 1$ B、 $x \geq 1$ C、 $x \leq - 1$ D、 $x \leq 1$

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2. 下列根式中属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{a^{2} + 1}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\frac{1}{\sqrt{2}}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{6} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{10} \div 2 = \sqrt{5}$ C、 $3 + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 若 $\sqrt{75 n}$ 是整数，则正整数n的最小值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 下列二次根式，不能与 $\sqrt{12}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{48}$ B、 $\sqrt{18}$ C、 $\sqrt{1 \frac{1}{3}}$ D、 $- \sqrt{75}$

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6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则点C到AB的距离是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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7. 在直角坐标系中，点P(-2，3)到原点的距离是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{11}$ D、2

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8. 已知一个直角三角形中的两条边的长为 $3 c m$ 和 $4 c m$ ，则第三条线段的长为（）

A、 $5 c m$ B、 $\sqrt{7} c m$ C、 $\sqrt{7} c m$ 或 $5 c m$ D、 $\sqrt{5} c m$

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二、填空题

9. 求值： $\sqrt{{(- 3)}^{2}} =$ ．

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10. 计算： $5 \sqrt{2} - \sqrt{18} =$

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11. 已知 $a = \sqrt{5}$ ，则代数式 $a^{2} - 1$ 的值是

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12. 若 $\sqrt{m - 3} + {(n + 1)}^{2} = 0$ ，则m－n的值为．

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13. 在平面直角坐标系中，点 $P (4 ， - 2)$ 到原点的距离是

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14. 若 $\sqrt{{(a - 2)}^{2}} = a - 2$ ，则 $a$ 的取值范围是

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三、解答题

15. 计算．

(1)、 $\sqrt{12} + \sqrt{3} - \sqrt{6} \times 2 \sqrt{3}$

(2)、 $(4 \sqrt{2} - \sqrt{6}) \div 2 \sqrt{2}$

(3)、 ${(2 \sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}$

(4)、 $(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} - \sqrt{3})$

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16. 先化简，再求值： $\frac{2 x}{x + 1} - \frac{2 x + 6}{x^{2} - 1} \div \frac{x + 3}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中x= $\sqrt{2}$ ﹣1

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17. 一个面积为 $24 c m^{2}$ 的长方形，它的长与宽之比为 $4 : 3$ ，求它的长与宽各是多少？（用方程解答）

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $a 、 b 、 c$ 分别表示 $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 的对边．

(1)、已知 $c = 15 ， b = 9$ ，求 $a$ ；

(2)、已知 $b = \sqrt{7} ， ∠ A = 60 °$ ，求 $c 、 a$ ．

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19. 已知 $x = \sqrt{3} + 1 ， y = \sqrt{3} - 1 ，$ 求下列各式的值：

(1)、 $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ ；

(2)、 $x^{2} - y^{2}$ .

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20. 如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，且∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．

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21. 已知如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ， $A C = 13 ， D C = 12 ， B D = 2$ ，求 $A B$ 的长．

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22. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°}$ ， $B C = 6$ ， $A C = 8$ ，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．

(1)、求AD的长；

(2)、求AE的长．

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23. 先观察下列各等式及其验证过程，然后解答问题：
① $2 \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}}$ 验证： $2 \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2^{3}}{3}} = \sqrt{\frac{(2^{3} - 2) + 2}{2^{2} - 1}} = \sqrt{\frac{2 (2^{2} - 1) + 2}{2^{2} - 1}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}}$ ；

② $3 \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$ 验证： $3 \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3^{3}}{8}} = \sqrt{\frac{(3^{3} - 3) + 3}{3^{2} - 1}} = \sqrt{\frac{3 (3^{2} - 1) + 3}{3^{2} - 1}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$ ；

解答下列问题：

(1)、按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 $4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ 的变形结果并进行验证；

(2)、针对上述各式所反映的一般规律，写出用 $n (n$ 为自然数，且 $n \geq 2)$ 表示的等式，并给出证明．

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