浙江省衢州市2020-2021学年高一下学期数学3月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-04-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1, 2}$ ， $B = {1, 3, 4}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、{1} B、 ${1, 3, 4}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${1, 2, 3, 4}$

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2. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{x}, 0 < x < 1 \\ 2 x - 2, x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (2) =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ 或2 D、2

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3. 已知 $a$ ， $b$ 为实数，则“ $a > b > 0$ ”是“ $\lg a > \lg b$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 将函数 $y = \cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后，所得函数图象的一条对称轴方程为（）

A、 $x = \frac{π}{8}$ B、 $x = \frac{π}{4}$ C、 $x = \frac{π}{2}$ D、 $x = \frac{5 π}{8}$

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5. 函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年10%的比例降低，若要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是（）( $\lg 2 \approx 0.3010$ ， $\lg 3 \approx 0.4771$ )

A、6年 B、7年 C、8年 D、9年

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7. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2^{x} - 1 | ， x \leq 2 \\ - x + 5 ， x > 2 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - t (t \in R)$ 有3个不同的零点 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则 $2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$ 的取值范围是（）

A、 $[16 ， 32]$ B、 $[16 ， 34)$ C、 $(18 ， 32]$ D、 $(18 ， 34)$

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8. 集合 $M = {(x ， y) | y = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 3}}$ ， $N = {(x ， y) | y = a {(x - 2)}^{2} ， a \in R}$ ，若 $M \cap N = \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2)$ B、 $[0 ， 4)$ C、 $[0 ， 8)$ D、 $(0 ， 16)$

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二、多选题

9. 下列函数中，既是奇函数且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的函数有（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = x$ C、 $y = 2^{x} - 1$ D、 $y = x^{3}$

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10. 已知 $\sin θ + \cos θ = \frac{1}{5}$ ， $θ \in (0, π)$ ，则（）

A、 $\sin 2 θ = - \frac{24}{25}$ B、 $\cos θ - \sin θ = \frac{7}{5}$ C、 $\tan θ = - \frac{4}{3}$ D、 $\sin \frac{θ}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

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11. 已知幂函数 $f (x) = (m + \frac{9}{5}) x^{m}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (- 32) = \frac{1}{16}$ B、 $f (x)$ 的定义域是 $R$ C、 $f (x)$ 是偶函数 D、不等式 $f (x - 1) \geq f (2)$ 的解集是 $[- 1 ， 1) \cup (1 ， 3]$

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12. 若 $0 < a \leq b < 1$ ， $c > 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $\log_{a} c \geq \log_{b} c$ B、 $\lg (a^{c} + a^{- c})$ 有最小值 C、 $c^{a} + a^{c} \leq c^{b} + b^{c}$ D、若 $(c - a - b) c = a b$ ，则 $\frac{c}{a + b}$ 的最大值为 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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三、填空题

13. 若扇形的圆心角为 $30 °$ ，半径为1，则扇形的面积为.

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14. 设 $\ln 2 = a$ ， $\ln 3 = b$ ，则 $e^{a + 2 b} =$ .

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15. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a + 2 b = 5$ ，则 $a b + \frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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16. 设函数 $f (x) = | x - a | - \frac{3}{x} + a$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 1$ 有且仅有两个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值构成的集合为.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x + 6 \leq 0}$ ， $B = {x | | x - m | \leq 1}$ .

(1)、若 $m = 0$ ，求 $∁_{R} B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知角 $α$ 的顶点与坐标原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边过点 $P (- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

(1)、求 $\sin α$ ， $\cos (π - α)$ ；

(2)、若角 $β$ 满足 $\tan (α - β) = \frac{1}{3}$ ，求 $\tan (2 α - β)$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{4} - x) \sin (\frac{π}{4} + x) + \sqrt{3} \sin 2 x + m$ 的最大值为1.

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；

(2)、当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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20. 据统计，某产品在过去一段时间内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单位：元)均为时间 $t$ (天)的函数，日销售量 $g (t) = - t + m$ ( $m$ 为常数)，且 $t = 10$ 时，日销售量为26千克，日销售单价满足函数 $f (t) = {\begin{array}{l} 25 - \frac{25}{t}, 1 < t < 9, t \in N \\ 13 + t, 9 \leq t \leq 15, t \in N \end{array}$ .

(1)、写出该商品日销售额 $y$ 关于时间 $t$ 的函数(日销售额=日销售量×销售单价)；

(2)、求这段时间内该商品日销售额的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (4^{x} + a) + x$ ( $a \in R$ 且 $a > 0$ ).

(1)、若函数 $f (x)$ 为偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、对任意的 $x \in [1, + \infty)$ ，不等式 $f (x) - f (- x) \leq - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x (| x | + 2 a)$ ， $g (x) = \frac{x^{2} + a}{x + 1}$ ， $a \in [- 2, 2]$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $\forall x_{1} \in [- 1, 1]$ ， $\exists$ 唯一的 $x_{2} \in [0, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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