浙江省精诚联盟2020-2021学年高一下学期数学3月联考试卷

试卷更新日期：2021-04-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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2. 设 $i$ 是虚数单位，则复数 $z = 2 i (- 2 + 3 i)$ 对应的点在复平面内位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0}$ ，设 $M$ 为线段 $B C$ 的中点， $N$ 为线段 $A B$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则向量 $\vec{N M} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $A = 30^{\circ}$ ， $B = 45^{\circ}$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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5. 在 $△ A B C$ 所在的平面内，点 $O$ 满足 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} |$ ，若 $A B = 2$ ， $A C = 6$ ，则 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、16 B、-16 C、32 D、-32

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6. 在锐角 $△ A B C$ 中，已知 $a = 3$ ， $c = \sqrt{7}$ ， $C = 60 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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7. 在 $△ O A B$ 中， $O A = O B = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，动点 $P$ 位于直线 $O A$ 上，当 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 取得最小值时，向量 $\vec{P A}$ 与 $\vec{P B}$ 的夹角余弦值为（）

A、 $- \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $- \frac{\sqrt{21}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$

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8. 已如平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = 3 \sqrt{3}$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{c} | = 2$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c} = 2$ ，则 ${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} \cdot {(\vec{a} - \vec{c})}^{2} - {[(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{c})]}^{2}$ 的最大值为（）

A、 $192 \sqrt{3}$ B、192 C、48 D、 $4 \sqrt{3}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = 2 + i$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{5}$ B、复数z的共轭复数为 $2 - i$ C、 $z i^{2021} = 1 + 2 i$ D、 $z^{2} = 3 + 4 i$

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10. 下列命题中正确的是（）

A、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $3 \vec{a} > 2 \vec{b}$ B、 $\vec{B C} - \vec{B A} - \vec{D C} = \vec{A D}$ C、若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是非零向量，则 $| \vec{a} | + | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} | \Leftrightarrow \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同 D、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则存在唯一实数 $λ$ 使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$

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11. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) // \vec{a}$ B、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、若 $\vec{c} = (\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$

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12. 已知点O为 $△ A B C$ 所在平面内一点， $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{4}{9} \vec{A C}$ B、直线AO必过BC边的中点 C、 $S_{△ A B C} ： S_{△ A O C} = 3 ： 1$ D、若 $| \vec{O B} | = | \vec{O C} | = | \vec{O A} | = 1$ ，则 $\cos < \vec{O A} ， \vec{O B} > = \frac{1}{4}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (x, 3)$ ， $\vec{b} = (4, 6)$ 且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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14. 复数 $\frac{2}{1 - i}$ 的虚部为．

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15. 已知向量 $\vec{a} = (\cos θ ， \sin θ)$ ， $\vec{b} = (1 ， \sqrt{3})$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} |$ 的最小值为.

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16. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ （其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $S$ 为三角形的三边和面积）表示.在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边，若 $a = 3$ ，且 $b \cos C - c \cos B = \frac{2 c^{2}}{3}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 4$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的值．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{1}{2} | \vec{A C} |$ ，且 $c = 1$ .
在① $a \cos C + c \cos A = 2$ ；② $b \sin C - \sqrt{3} c \cos B = c$ ；③ $a \sin B = 2 c \sin A$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.

(1)、求角A；

(2)、若 ▲ ，角B的平分线交AC于点D，求BD的长.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

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19. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 $m/min$ .在甲出发2 $min$ 后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 $min$ 后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 $m/min$ ，山路AC长为1260 $m$ ，经测量得 $\sin C = \frac{4}{5}$ ， $\sin B = \frac{63}{65}$ ， $∠ B$ 为钝角.

(1)、求缆车线路AB的长：

(2)、问乙出发多少 $min$ 后，乙在缆车上与甲的距离最短.

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20. 在 $△ A O B$ 中，已知 $O A = \sqrt{2}$ ， $O B = \sqrt{3}$ ， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1$ ，设点 $P$ 为边 $A B$ 上一点，点 $Q$ 为线段 $B O$ 延长线上的一点.

(1)、求 $\vec{O B} \cdot \vec{A B}$ 的值：

(2)、若 $\vec{P O} \cdot \vec{P Q} = \vec{O P} \cdot \vec{O A}$ ，求 $| \vec{O P} |$ 的取值范围.

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