湖南省重点中学2020-2021学年高一下学期数学3月联考试卷

试卷更新日期：2021-04-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2^{x} - 8 > 0}$ ， $B = {x | x - 1 > 6}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(7, + \infty)$ C、 $(3, 7)$ D、 $(- \infty, 7)$

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2. 在 $Δ A B C$ 中，“ $\cos A < 0$ ”是 $Δ A B C$ 为钝角三角形的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. $Δ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b^{2} = a^{2} - c^{2} + b c$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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4. 已知 $a = \ln 2$ ， $b = 2^{0.8}$ ， $c = \ln \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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5. 由于正六边形兼具美感与稳定性，许多建筑中都有出现正六边形.下图中塔的底面是边长为6 $m$ 的正六边形，则该塔底面的面积为（）

A、 $48 \sqrt{3} m^{2}$ B、 $42 \sqrt{3} m^{2}$ C、 $36 \sqrt{3} m^{2}$ D、 $54 \sqrt{3} m^{2}$

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6. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 2 a b$ ，则 $2 a + 6 b$ 的最小值（）

A、6 B、 $4 + \sqrt{3}$ C、10 D、 $4 + 2 \sqrt{3}$

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7. 某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快，对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物，研究发现该植物在水面的覆盖面积 $y$ (单位： $m^{2}$ )与经过的时间 $t$ (单位：月)的关系式为 $y = a \times {1.3}^{t}$ ，当投放一定面积的该植物后，经过1个月面积达到 $2.6 m^{2}$ .那么要使该植物在水面的覆盖面积达到 $2600 m^{2}$ ，至少要经过的时间约为（）参考数据： $lg 1.3 = 0.114$ .

A、25.32个月 B、27.32个月 C、28.32个月 D、29.32个月

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8. 已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， π]$ 上有零点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $[\frac{2}{3} ， + \infty)$ C、 $[\frac{2}{3} ， \frac{5}{3}]$ D、 $[\frac{2}{3} ， \frac{3}{2}]$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = A \cos (2 x + φ) + b$ ( $A > 0$ ， $0 < φ < π$ )的部分图像如图所示，则（）

A、 $A = 2$ B、点 $(\frac{7 π}{12} ， 1)$ 是 $f (x)$ 图像的一个对称中心 C、 $φ = \frac{π}{6}$ D、直线 $x = \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 图像的一条对称轴

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10. $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 3$ ， $b = 2$ ， $\sin B = \sin 2 A$ ，则（）

A、 $\sin B = \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\cos A = - \frac{1}{3}$ C、 $c = 3$ D、 $S_{Δ A B C} = 2 \sqrt{2}$

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11. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $C D$ ， $B C$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $\vec{A F} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} = 25$ D、 $\vec{A E} \cdot \vec{A C} = \vec{A F} \cdot \vec{A C}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \ln x | ， x > 0 \\ - x^{2} + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若存在 $a < b < c$ ，使得 $f (a) = f (b) = f (c)$ 成立，则（）

A、 $b c = 1$ B、 $b + c = 1$ C、 $a + b + c > 1$ D、 $a b c < - 1$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (5, 4)$ ， $\vec{b} = (m, 15)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 写出一个在区间 $[0, + \infty)$ 上单调递减的偶函数 $f (x) =$ .

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15. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以化的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的长度为 $π$ ，则该勒洛三角形的面积为.

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16. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (- x)$ ，当 $x \in [- 1, 0]$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，则 $f (2021) =$ .

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + π^{0} - (\sqrt{2} - 1) + 27^{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、 $\log_{3} 2 \times \log_{8} 81 + \lg 25 - 2 \log_{\frac{1}{100}} 4$ .

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18. 已知向量 $\vec{a} = (3, 1)$ ， $| \vec{b} | = 5$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 15$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的正切值；

(2)、若 $(λ \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，求 $λ$ 的值.

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19. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 4 m - 4) x^{m + 1}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义法证明函数 $g (x) = f (x) + \frac{4 (m + 3)}{x}$ 在区间 $(0, 2)$ 上单调递减.

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20. 已知平面向量 $\vec{m} = (\sin x ， \sqrt{3} \cos x)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \cos x ， 2 \sin x + \sqrt{3} \cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、先将 $f (x)$ 图像上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再将所得图像上所有的点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，求 $g (x)$ 的单调递减区间.

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21. $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a \sin C = \frac{\sqrt{3}}{3} c \cos A$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若 $a = 5$ ，求 $2 b - \sqrt{3} c$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + (2 - m) \sin x - m$ .

(1)、当 $m = \frac{3}{2}$ 时，求方程 $f (x) = 0$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 0$ 在区间 $[\frac{π}{3} ， \frac{7 π}{6}]$ 上有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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