湖南省名校联盟2020-2021学年高二下学期数学3月联考试卷

试卷更新日期：2021-04-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知命题 $p : \forall x \in R, e^{x} \geq e x$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \notin R, e^{x} < e x$ B、 $\forall x \in R, e^{x} < e x$ C、 $\exists x \notin R, e^{x} < e x$ D、 $\exists x \in R, e^{x} < e x$

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2. “ $m < 3$ ”是“曲线 $\frac{x^{2}}{3 - m} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某学习小组有甲、乙、丙、丁四位同学，某次数学测验有一位同学没有及格，当其他同学问及他们四人时，甲说：“没及格的在甲、丙、丁三人中”；乙说：“是丙没及格”；丙说：“是甲或乙没及格”；丁说：“乙说的是正确的”.已知四人中有且只有两人的说法是正确的，则由此可推断未及格的同学是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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4. 已知函数 $f (x) = x e^{x - a}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a ， f (a))$ 处的切线方程为 $y = 3 x + b$ ，则 $a + b =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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5. 某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，不经过B的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{8}{15}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. ${(x - 2 + y)}^{6}$ 的展开式中， $x^{2} y^{2}$ 的系数为（）

A、360 B、180 C、90 D、 $- 180$

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7. 将标号为1、2、3、4、5、6的6个小球随机地放入标号为1、2、3、4、5、6的6个盒子中，每个盒子放一个小球，恰好有4个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有（）

A、45种 B、90种 C、135种 D、180种

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8. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 的左，右两支分别交于 $A ， B$ 两点，点 $M$ 在 $x$ 轴上， $\vec{F_{2} A} = \frac{1}{3} \vec{M B} ， B F_{2}$ 平分 $∠ F_{1} B M$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{4} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \sqrt{6} x$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = \frac{4 + 7 i}{3 + 2 i}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、z的虚部为i B、 $\bar{z} = 2 - i$ C、 $| z | = \sqrt{5}$ D、z在复平面内对应的点位于第四象限

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10. 若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m^{2} - 1} = 1$ 的一个焦点坐标为 $(0, 1)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $m = 2$ B、C的长轴长为 $2 \sqrt{3}$ C、C的短轴长为4 D、C的离心率为 $\frac{1}{3}$

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11. 若函数 $e^{x} f (x)$ 在 $f (x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $f (x)$ 具有M性质.下列函数中具有M性质的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = \sin x$ C、 $f (x) = 2^{- x}$ D、 $f (x) = \ln x$

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12. $(a - x) {(1 + x)}^{6}$ 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是（）

A、 $a = 3$ B、展开式中常数项为3 C、展开式中 $x^{4}$ 的系数为30 D、展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64

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三、填空题

13. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是.

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14. 函数 $f (x) = x \sin x + \cos x (0 ⩽ x ⩽ 2 π)$ 的最小值为.

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15. 从 $1, 3, 5, 7$ 中任取2个数字，从 $0, 2, 4, 6$ 中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位偶数.（用数字作答）

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16. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F$ ， $△ A B C$ 的三个顶点都在抛物线上，且 $A (1, 2)$ ， $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A F}$ ，则 $| A F | =$ ， $B C$ 边所在直线的方程为.

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四、解答题

17. 已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点 $P (m, 2)$ 到其焦点 $F$ 的距离为4.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，求 $△ O A B$ 的面积.

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D ， A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D ， A B ⊥ A D$ ， $P A = P B ， P A ⊥ P B ， A B = A D = \frac{1}{2} C D = 2 ， E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $A E / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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19. 已知 ${(x^{2} + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{m}$ 的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求m的值；

(2)、求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；

(3)、将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.

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20. 甲、乙、丙三位教师指导五名学生 $a 、 b 、 c 、 d 、 e$ 参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生.

(1)、若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；

(2)、若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案.

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，连接其四个顶点构成的四边形的面积为 $4 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线 $l : y = k x + m$ 交C于 $A, B$ 两点，直线 $F_{1} A$ 与 $F_{1} B$ 的斜率互为相反数，证明： $l$ 过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = a \ln x - x + 1$ ，且 $f (x) ⩽ 0$ 恒成立.

(1)、求a的值；

(2)、若 $f (x) ⩽ x e^{x} - m x$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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