湖北省部分重点中学2020-2021学年高二下学期数学3月联考试卷

试卷更新日期：2021-04-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系中，直线 $x + \sqrt{3} y - 3 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2. 某校为了解学生学习情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三 $n$ 人中，共抽取 $35$ 人进行问卷调查，在抽样中不需剔除个体，已知高二被抽取的人数为 $13$ 人，则 $n$ 等于（）

A、660 B、720 C、780 D、800

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3. 下列不等式中成立的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{3} > b^{3}$

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4. 在 $A, B, C, D$ 四本不同的书中，任取2本，则取到 $A$ 的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 已知m，n为两条不同的直线， $α$ 和 $β$ 是两个不同的平面，下列为真命题的是（）

A、 $m ⊥ n ， m / / α \Rightarrow n ⊥ α$ B、 $n / / β ， β ⊥ α \Rightarrow n ⊥ α$ C、 $m / / n ， m ⊥ β \Rightarrow n ⊥ β$ D、 $m / / α ， n \subset α \Rightarrow m / / n$

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6. 已知两个等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $A_{n}$ 和 $B_{n}$ ，且 $\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{7 n + 45}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{3}}{b_{3}} =$ （）

A、10 B、 $\frac{20}{3}$ C、 $\frac{143}{17}$ D、15

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7. 若函数 $y = - \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$ 的图象与直线 $x - 2 y + m = 0$ 有公共点，则实数m的取值范围为（）

A、 $[- 2 \sqrt{5} - 1 ， - 2 \sqrt{5} + 1]$ B、 $[- 2 \sqrt{5} - 1 ， 1]$ ． C、 $[- 2 \sqrt{5} + 1 ， - 1]$ D、 $[- 3 ， 1]$

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8. 已知 $p ： \exists x > 0 ， e^{x} - a x < 1$ 成立， $q ：$ 函数 $f (x) = - {(a - 1)}^{x}$ 是减函数，则 $p$ 是 $q$ 的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $z_{1}, z_{2}$ 互为共轭复数，则 $z_{1} z_{2}$ 为实数 B、若i为虚数单位，n为正整数，则 $i^{4 n + 3} = i$ C、复数 $\frac{5}{i - 2}$ 的共轭复数为 $- 2 - i$ D、复数为 $- 2 - i$ 的虚部为－1

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10. 在 $△ A B C$ 中，如下判断正确的是（）

A、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\sin A > \cos B$ D、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$

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11. 定义在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的函数 $f (x)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (x) < - \tan x \cdot f (x)$ 恒成立，则（）

A、 $f (\frac{π}{6}) > \sqrt{2} f (\frac{π}{4})$ B、 $\sqrt{3} f (\frac{π}{6}) > f (\frac{π}{3})$ C、 $f (\frac{π}{6}) > \sqrt{3} f (\frac{π}{3})$ D、 $\sqrt{2} f (\frac{π}{6}) > \sqrt{3} f (\frac{π}{4})$

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12. 设F是抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $| A B | \geq 4$ B、 $| O A | + | O B | > 8$ C、若点 $P (4, 1)$ ，则 $| P A | + | A F |$ 的最小值是5 D、若 $A B$ 倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| A F | > | B F |$ ，则 $| A F | = 3 | B F |$

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三、填空题

13. 曲线 $y = x \ln x + 3 x + 2$ 的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是．

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14. 已知正数 $x ， y$ 满足 $x + y = 1 ，$ 则 $\frac{4}{x + 2} + \frac{1}{y + 1}$ 的最小值为．

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15. 有公共焦点F₁ ， F₂的椭圆和双曲线的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F₁AF₂＝90°，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 的值为．

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16. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A$ ⊥底面 $A B C D$ ， $P A = A B = A D = 1$ ， $B C = C D = B D = \sqrt{3}$ ，则四棱锥的外接球的表面积为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，满足 $a \cos B + b \cos A = 2 c \cos B$ ， $b = \sqrt{7}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $a - c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 某研究机构对某校高三学生的记忆力 $x$ 和判断力 $y$ 进行统计分析，得下表数据．

$x$

6

8

10

12

$y$

2

3

5

6

（附参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

(1)、根据表中的数据可知 $x 、 y$ 具有较强的线性相关性，求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、预测记忆力为19的同学的判断力．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P B ⊥ B C ， P D ⊥ C D$ ，且 $P A = 2$ ， $E$ 为 $P D$ 中点.

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A - B E - C$ 的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - 2 a_{n} + 2 = 0$ ，且 $a_{1} = 8$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} - 2}$ 为等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} a_{n}}{(2^{n} + 1) (2^{n + 1} + 1)}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $m \geq T_{n}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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21. 在 $△ A B P$ 中，点 $B (- 2, 0), A (2, 0)$ ，顶点 $P$ 满足： $k_{P A} \cdot k_{P B} = - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求顶点 $P$ 的轨迹方程 $E$ ；

(2)、过点 $F (\sqrt{2}, 0)$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，求 $△ M A N$ 面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性，并比较 $2021^{2022}$ 与 $2022^{2021}$ 的大小；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{a}{2} {(x - 1)}^{2} + x (f (x) - 1)$ ，其中 $1 \leq a < e$ ，判断 $g (x)$ 的零点的个数，并说明理由．

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$x$	6	8	10	12
$y$	2	3	5	6