河南省2020-2021学年高二下学期理数阶段性测试（三）

试卷更新日期：2021-04-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 有一个三段论推理：“等比数列中没有等于 $0$ 的项，数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，所以 $a_{n} \neq 0$ ”，这个推理（）

A、大前提错误 B、小前提错误 C、推理形式错误 D、是正确的

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2. 在用反证法证明“已知 $x$ ， $y \in R$ ，且 $x + y < 0$ ，则 $x$ ， $y$ 中至多有一个大于0”时，假设应为（）

A、 $x$ ， $y$ 都小于0 B、 $x$ ， $y$ 至少有一个大于0 C、 $x$ ， $y$ 都大于0 D、 $x$ ， $y$ 至少有一个小于0

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3. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 5 x^{2} + a x$ 在 $x = - 3$ 处取得极值，则 $a =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、-3

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4. $\int_{2}^{4} \frac{1}{x} d x$ 等于（）

A、 $- 2 \ln 2$ B、 $2 \ln 2$ C、 $- \ln 2$ D、 $\ln 2$

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5. 曲线 $y = x^{3} - 2 x^{2}$ 在点 $(1 ， - 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 4 x - 5$ B、 $y = x - 2$ C、 $y = - 4 x + 3$ D、 $y = - x$

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6. 已知 $a = \sqrt{7} - \sqrt{6}$ ， $b = \sqrt{6} - \sqrt{5}$ ，则（）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a = b$ D、 $a$ ， $b$ 大小不确定

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7. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2020} = 0$ ，则有等式 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{4039 - n}$ （ $n < 4039$ 且 $n \in N^{*}$ ）成立，类比上述性质，在等比数列 ${b_{n}}$ 中，若 $b_{2021} = 1$ ，则有（）

A、 $b_{1} \cdot b_{2} \cdot \dots \cdot b_{n} = b_{1} \cdot b_{2} \dots \dots b_{4041 - n}$ （ $n < 4041$ 且 $n \in N^{*}$ ） B、 $b_{1} \cdot b_{2} \cdot \dots \cdot b_{n} = b_{1} \cdot b_{2} \cdot \dots \cdot b_{4040 - n}$ （ $n < 4040$ 且 $n \in N^{*}$ ） C、 $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{4041 - n}$ （ $n < 4041$ 且 $n \in N^{*}$ ） D、 $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{4040 - n}$ （ $n < 4040$ 且 $n \in N^{*}$ ）

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8. 下列推理正确的是（）

A、如果不买体育彩票，那么就不能中大奖，因为你买了体育彩票，所以你一定能中大奖 B、若命题“ $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} + m x_{0} + 2 m - 3 < 0$ ”为假命题，则实数 $m$ 的取值范围是 $(2 ， 6)$ C、在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{n} > 0$ ，公差 $d > 0$ ，则有 $a_{4} \cdot a_{6} > a_{3} \cdot a_{7}$ ，
类比上述性质，在等比数列 ${b_{n}}$ 中，若 $b_{n} > 0$ ，公比 $q > 1$ ，则 $b_{4} + b_{8} > b_{5} + b_{7}$
D、如果 $m$ ， $n$ 均为正实数，则 $\lg m + \lg n \geq 2 \sqrt{\lg m \cdot \lg n}$

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9. 请阅读下列材料：若两个正实数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，满足 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 2$ ，求证： $a_{1} + a_{2} ⩽ 2$ ．
证明：构造函数 $f (x) = {(x - a_{1})}^{2} + {(x - a_{2})}^{2}$ $= 2 x^{2} - 2 (a_{1} + a_{2}) x + 2$ ，因为对一切实数 $x$ ，恒有 $f (x) ⩾ 0$ ，所以 $Δ ⩽ 0$ ，即 $4 {(a_{1} + a_{2})}^{2} - 16 ⩽ 0$ ，所以 $a_{1} + a_{2} ⩽ 2$ ．

根据上述证明方法，若 $n$ 个正实数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ ，满足 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} = 2 n$ ，你能得到的结论是（）

A、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} ⩽ \sqrt{n}$ B、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} ⩽ \frac{\sqrt{2} n}{2}$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} ⩽ n$ D、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} ⩽ \sqrt{2} n$

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10. 已知函数 $g (x) = x^{3} - x^{2} - 5$ ，若对 $\forall x \in [0 ， 2]$ ，都有 $g (x) \leq a$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[- 5 ， + \infty)$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 x - \sin x$ ， $x \in (- 1 ， 1)$ ，如果 $f (1 - a) + f (1 - a^{2}) > 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ D、 $(0 ， \sqrt{2})$

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12. 设曲线 $y = \frac{1}{n + 1} x^{n} (n \in N^{*})$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为 $a_{n}$ ，则 $\log_{2021} a_{1} + \log_{2021} a_{2} + \log_{2021} a_{3} + \dots + \log_{2021} a_{2020}$ 的值为（）

A、 $- \log_{2021} 2020$ B、-1 C、 $\log_{2021} 2020 - 1$ D、1

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二、填空题

13. 观察下列不等式： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 2$ ， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{7} < 3$ ， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{15} < 4$ ，…，可归纳的一个不等式是 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots +$ $< n$ （ $n \in N^{*}$ 且 $n > 1$ ）．

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14. 已知点 $A (a ， \ln a)$ ， $B (b ， \ln b)$ 是函数 $y = \ln x$ 的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段 $A B$ 总是位于 $A$ ， $B$ 两点之间函数图象的下方，因此有结论 $\frac{\ln a + \ln b}{2} < \ln \frac{a + b}{2}$ 成立，运用类比思想方法可知，若点 $A (a ， 2^{a})$ ， $B (b ， 2^{b})$ 是函数 $y = 2^{x}$ 的图象上任意不同的两点，则类似地有结论成立．

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15. 已知函数 $f (x) = \cos x - \sin x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，定义 $f_{1} (x) = f^{'} (x)$ ， $f_{2} (x) = {[f_{1} (x)]}^{'}$ ，． $\dots$ ， $f_{n + 1} (x) = {[f_{n} (x)]}^{'} (n \in N^{*})$ ，则 $f_{2021} (x) =$ ．

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16. 周长为 $10cm$ 的矩形，绕一条边所在的直线旋转一周所成圆柱体积的最大值为 ${cm}^{3}$ ．

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三、解答题

17. 已知函 $f (x) = a^{x} + \frac{x}{x - 1} (0 < a < 1)$ ．

(1)、用导数法证明 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上为减函数；

(2)、用反证法证明方程 $f (x) = 0$ 没有负数根．

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18. 已知角 $α$ 的终边在第三象限， $\cos (74^{\circ} + α) = \frac{3}{5}$ ，证明： $\tan (α - 106^{\circ}) = - \frac{4}{3}$ ．

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19. 双曲线与椭圆有许多优美的对称性质，对于双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ），有下列性质：若 $A B$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）不平行于对称轴且不过原点的弦， $M$ 为 $A B$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则 $k_{O M} \cdot k_{A B} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ 为定值，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 也有类似的性质．若 $A B$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 不平行于对称轴且不过原点的弦， $M$ 为 $A B$ 的中点， $O$ 为坐标原点，猜想 $k_{O M} \cdot k_{A B}$ 的值，并证明．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线斜率为 $- 4$ ，且 $x = - 2$ 时， $y = f (x)$ 有极值．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 3 ， 2]$ 上的最大值和最小值．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} - 1$ ，且 $a_{n} > 0$ ．

(1)、求 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ ；

(2)、猜想 ${a_{n}}$ 的通项公式，并用数学归纳法证明．

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22. 已知函数 $f (x) = (x + 1) \ln x - a x + a (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若存在 $x_{0} \in (1 ， + \infty)$ ，使得不等式 $f (x_{0}) < 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围．

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