深圳实验学校高中部2020-2021学年高一下学期数学第一阶段考试试卷

试卷更新日期：2021-04-14 类型：月考试卷

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一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 复数 $z = - 2 i^{2} - i + 1$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、 $1$

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2. 已知| $\vec{A B}$ |=6，| $\vec{A C}$ |=4，则| $\vec{B C}$ |的取值范围为（　　）

A、（2，8） B、[2，8] C、（2，10） D、[2，10]

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3. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 的中点， $F$ 在线段 $B E$ 上，且 $B F = 3 F E$ ，记 $\vec{a} = \vec{B A}$ ， $\vec{b} = \vec{B C}$ ，则 $\vec{C F} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{3}{8} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{5}{8} \vec{b}$

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4. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是不共线的向量， $\vec{A B} = λ \vec{a} + \vec{b}, \vec{A C} = \vec{a} + μ \vec{b}, λ, μ \in R$ ，若 $A, B, C$ 三点共线，则（）

A、 $λ + μ = 2$ B、 $λ - μ =1$ C、 $λ μ = - 1$ D、 $λ μ = 1$

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5. 若非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} |$ ，则（）

A、 $| 2 \vec{a} | < | 2 \vec{a} - \vec{b} |$ B、 $| 2 \vec{a} | > | 2 \vec{a} - \vec{b} |$ C、 $| 2 \vec{b} | > | \vec{a} - 2 \vec{b} |$ D、 $| 2 \vec{b} | < | \vec{a} - 2 \vec{b} |$

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6. 在锐角 $Δ A B C$ 中，已知 $\cos A (\sin B + \cos B) = \sin C$ ，则下列正确的结论为（）

A、 $A = \frac{π}{4}$ B、 $B = \frac{π}{3}$ C、 $A = B$ D、 $B = \frac{π}{4}$

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7. 如果满足 $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A C = 12$ ， $B C = k$ 的△ABC恰有一个，那么 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k = 8 \sqrt{3}$ B、 $0 < k \leq 12$ C、 $k \geq 12$ D、 $0 < k \leq 12$ 或 $k = 8 \sqrt{3}$

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8. 已知 $P$ 是 $Δ A B C$ 内一点，且满足 $2 \vec{P A} + 3 \vec{P B} + 4 \vec{P C} = 0$ ，记 $Δ P A B ， Δ P B C ， Δ P A C$ 的面积依次为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ，则 $S_{1} ： S_{2} ： S_{3}$ 等于（）

A、 $2 ： 3 ： 4$ B、 $3 ： 2 ： 4$ C、 $4 ： 2 ： 3$ D、 $4 ： 3 ： 2$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 下列命题中错误的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ 的充要条件是 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ 且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b} ， \vec{b} ∥ \vec{c}$ 则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 则 $\vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} = \vec{0}$ D、 $| \vec{a} | - | \vec{b} | \leq | \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$

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10. 下列命题中正确的是（）

A、非零向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $30^{\circ}$ B、已知非零向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 的夹角为锐角 C、若 $M$ 是 $△ A B C$ 所在平面上的一点，且满足 $(\vec{M A} + \vec{M B} - 2 \vec{M C}) (\vec{M A} - \vec{M B}) = 0$ ，
则 $△ A B C$ 为等腰三角形
D、在 $△ A B C$ 中，若点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则 $P$ 为 $△ A B C$ 的垂心

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11. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $\sin^{2} A + \cos^{2} B + \sqrt{3} \sin A \sin C = \cos^{2} C$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\cos B = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sin B = \frac{1}{2}$ D、 $\tan B = \frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 均为单位向量，其夹角为 $θ$ ，有下列四个命题：
$P_{1} : | \vec{a} + \vec{b} | > 1 \Leftrightarrow θ \in [0, \frac{2}{3} π)$                  $P_{2} : | \vec{a} + \vec{b} | > 1 \Leftrightarrow θ \in (\frac{2}{3} π, π]$

$P_{3} : | \vec{a} - \vec{b} | > 1 \Leftrightarrow θ \in [0, \frac{π}{3})$                   $P_{4} : | \vec{a} - \vec{b} | > 1 \Leftrightarrow θ \in (\frac{π}{3}, π]$

其中正确的命题是（   ）

A、 $P_{1}$ B、 $P_{2}$ C、 $P_{3}$ D、 $P_{4}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．

13. 若 $\vec{a} = (2, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (1, - \sqrt{3})$ ，与 $\vec{b}$ 方向相同的单位向量为 $\vec{e}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为．

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14. 如图，在矩形 $O A C B$ 中， $E ， F$ 分别为 $A C$ 和 $B C$ 上的中点，若 $\vec{O C} = m \vec{O E} + n \vec{O F}$ ，其中 $m ， n \in R ，$ 则 $m + n$ 的值为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\overset{⇀}{A N} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{N C}$ ， $P$ 是 $B N$ 上的一点，若 $\overset{⇀}{A P} = (m + \frac{2}{9}) \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{9} \overset{⇀}{B C}$ ，则实数 $m$ 的值为.

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16. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ .且满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2} + a b$ .若 $b = 4$ ，且 $Δ A B C$ 为锐角三角形，则 $Δ A B C$ 面积的取值范围为.

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四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. 设向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ， $\vec{c} = (- 2, 1)$

(1)、若向量 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 与向量 $\vec{c}$ 平行，求 $λ$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{b} + μ \vec{c}$ 与向量 $μ \vec{b} - \vec{c}$ 互相垂直，求 $μ$ 的值.

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18.

(1)、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60^{0}$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，求 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ ；

(2)、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{a} - \vec{c}) (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，求 $| \vec{c} |$ 的最大值.

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19. 在 $Δ A B C$ 中，三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $\vec{m} = (4, - 1),$ $\vec{n} = (\cos^{2} \frac{A}{2}, \cos 2 A)$ ，且 $\vec{m} \cdot \vec{n} = \frac{7}{2}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最大值.

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20. 如图为某公园的绿化示意图，准备在道路 $A B$ 的一侧进行绿化，线段 $A B$ 长为 $2 k m$ ， $O C = O D = O A = O B = 1 k m$ ，设 $∠ C O B = θ$ .

(1)、为了美化公园周围的环境，现要在四边形 $A B C D$ 内种满郁金香，若 $∠ C O D = \frac{π}{3}$ ，则当 $θ$ 为何值时，郁金香种植面积最大；

(2)、为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段 $B C$ ， $C D$ 和 $D A$ 组成，若 $B C = C D$ ，则当 $θ$ 为何值时，栈道的总长 $l$ 最长，并求 $l$ 的最大值.

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21. 已知 $\vec{m} = (- t \sin α, \cos α)$ ， $\vec{n} = (- 1, \sin α + t)$

(1)、 $t = 1$ 时，求 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ 的取值范围；

(2)、若存在t，使得 $\vec{m} \cdot \vec{n} = - 1$ ，求 $t$ 的取值范围.

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22. 已知 $Δ A B C$ 中，过重心 $G$ 的直线 $P Q$ 交边 $A B$ 于 $P$ ，交边 $A C$ 于 $Q$ ，连结 $A G$ 并延长交 $B C$ 于点 $D$ ，设 $△ A P Q$ 的面积为 $S_{1}$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $S_{2}$ ， $\vec{A P} = p \vec{P B}$ ， $\vec{A Q} = q \vec{Q C}$ .

(1)、求 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}$ ；

(2)、求证： $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ；

(3)、求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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