辽宁省辽阳市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = 1 + 2 i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、2 D、-2

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2. 设i为虚数单位，则(x＋i)⁶的展开式中含x⁴的项为（）

A、－15x⁴ B、15x⁴ C、－20ix⁴ D、20ix⁴

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3. 下列求导数运算错误的是（）

A、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \ln 3$ B、 ${(\log_{3} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 3}$ C、 ${(\frac{\cos x}{x})}^{'} = \frac{x \sin x - \cos x}{x^{2}}$ D、 $(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

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4. 在复平面内，复数 $z$ 的对应点为 $(1, - 1)$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 - i$

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5. $55^{55}$ 除以 $8$ ，所得余数是（）

A、7 B、1 C、0 D、-1

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6. 已知 ${(1 + x)}^{n}$ 的展开式中第 $4$ 项与第 $8$ 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．

A、 $2^{12}$ B、 $2^{11}$ C、 $2^{10}$ D、 $2^{9}$

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7. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 3 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z | =$ 等于（）

A、10 B、 $\sqrt{10}$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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8. 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那么获得冠军的可能种数为（）

A、 $5^{3}$ B、 $3^{5}$ C、 $A_{5}^{3}$ D、 $C_{5}^{3}$

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9. 函数 f(x)=(x−3)e^x 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(1 ， 4)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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10. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上有导函数， $f (x)$ 图象如图所示，则下列不等式正确的是（）

A、 $f^{'} (a) < f^{'} (b) < f^{'} (c)$ B、 $f^{'} (b) < f^{'} (c) < f^{'} (a)$ C、 $f^{'} (a) < f^{'} (c) < f^{'} (b)$ D、 $f^{'} (c) < f^{'} (a) < f^{'} (b)$

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11. 在0、1、2、3、4、5这6个数字组成的没有重复数字的六位数中，能被2整除的数的个数为（）

A、216 B、288 C、312 D、360

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12. （安徽省蒙城县第一中学、淮南第一中学等2018届高三上学期“五校”联考）已知定义在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的函数 $f (x) ， f^{'} (x)$ 是它的导函数，恒有 $f (x) cos x + f^{'} (x) sin x > 0$ 成立，则（）

A、 $\sqrt{2} f (\frac{π}{4}) > \sqrt{3} f (\frac{π}{3})$ B、 $f (1) \sin 1 > \frac{1}{2} f (\frac{π}{6})$ C、 $f (\frac{π}{6}) > f (\frac{π}{4})$ D、 $f (\frac{π}{6}) > \sqrt{3} f (\frac{π}{3})$

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二、填空题

13. 已知 $A_{10}^{n} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6$ ，那么 $n =$ .

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14. 若复数z=-1-2i是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，( $p, q$ 是实数)，则p+q=.

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15. 已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的单调函数 $f (x)$ ，对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f [f (x) - \log_{2} x] = 3$ ，则函数 $f (x)$ 的图象在 $x = \frac{1}{\ln 2}$ 处的切线的倾斜角为.

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16. 用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大 cm³ ，在四角截去的正方形的边长为 cm .

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三、解答题

17. 已知i是虚数单位，复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 1 - i$ ， $z = \frac{z_{1}}{z_{2}} - 1$ ．

(1)、判断z是否为纯虚数，并说明理由；

(2)、求 $C_{100}^{1} \cdot z + C_{100}^{2} \cdot z^{2} + C_{100}^{3} \cdot z^{3} + \dots + C_{100}^{100} \cdot z^{100}$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x - 16$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， - 14)$ 处的切线方程；

(2)、直线 $l$ 为曲线 $y = f (x)$ 的切线且过原点，求直线 $l$ 方程.

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19. 有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．

(1)、全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；

(2)、全体站成一排，女生必须站在一起；

(3)、全体站成一排，男生互不相邻．

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20.

(1)、在 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{9}$ 的展开式中，求 $x^{2}$ 的系数；

(2)、 $C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + \dots + C_{9}^{2} = C_{3}^{3} + C_{3}^{2} + \dots + C_{9}^{2} = C_{4}^{3} + C_{4}^{2} + \dots + C_{9}^{2} = \dots = C_{9}^{3} + C_{9}^{2} = C_{10}^{3} = 120$ （2）设 ${(1 - 2 x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ， $(x \in R)$ ，求下列各式的值.
（ⅰ） $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{6}$ ；

（ⅱ） $a_{2} + a_{4} + a_{6}$ ；

（ⅲ） $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} + 6 a_{6}$ .

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21. 设函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 的导数 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (1) = 2 a$ ， $f^{'} (2) = - b$ ，其中常数 $a ， b \in R$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、设 $g (x) = \frac{1}{e^{x}} f^{'} (x)$ ，求函数 $g (x)$ 的极值.

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22. 设 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x | x |$ .

(1)、令 $F (x) = x \cdot f (x) - g (x)$ ，求 $F (x)$ 的单调区间；

(2)、若任意 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， + \infty)$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $m [g (x_{2}) - g (x_{1})] > x_{2} f (x_{2}) - x_{1} f (x_{1})$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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