江西省赣州市十五县（市）2019-2020学年高二下学期理数期中联考试卷

试卷更新日期：2021-04-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知i为虚数单位，复数z满足 $(1 - i) (z + i) = 1$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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2. 已知命题 $p$ ： $\forall x \geq 0$ ， $x^{2} + 4 x + 3 > 0$ ，那么 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x_{0} < 0$ ， $x_{0}^{2} + 4 x_{0} + 3 \leq 0$ B、 $\forall x < 0$ ， $x^{2} + 4 x + 3 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} \geq 0$ ， $x_{0}^{2} + 4 x_{0} + 3 \leq 0$ D、 $\forall x < 0$ ， $x^{2} + 4 x + 3 > 0$

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3. 2019年12月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例.2020年1月12日，世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“2019新型冠状病毒”.2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19（新冠肺炎）｡新冠肺炎患者症状是发热､干咳､浑身乏力等外部表征｡“某人表现为发热､干咳､浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的（）．

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 定积分 $\int_{1}^{2} (e^{x} + \frac{2}{x}) d x =$ （）

A、 $e^{2} + 1$ B、 $e^{2} - e + 1$ C、 $e^{2} + 2 \ln 2$ D、 $e^{2} - e + 2 \ln 2$

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5. 已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， $f (x) = \sin x + 2 x f^{'} (π)$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{2}) =$ （）

A、 $1 + π$ B、 $1 - π$ C、2 D、-2

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6. 在四面体 $A B C D$ 中，点 $F$ 在 $A D$ 上，且 $A F = 2 F D$ ， $E$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{E F}$ 等于（）

A、 $\vec{E F} = \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ B、 $\vec{E F} = - \frac{1}{2} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ C、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\vec{E F} = - \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$

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7. 如图，由曲线 $y = e^{x} - 2$ ，直线 $x = 0 ， x = 2$ 和 $x$ 轴围成的封闭图形的面积是（）

A、 $\int_{0}^{2} (e^{x} - 2) d x$ B、 $| \int_{0}^{2} (e^{x} - 2) d x |$ C、 $\int_{0}^{2} | e^{x} - 2 | d x$ D、 $\int_{0}^{ln 2} (e^{x} - 2) d x + \int_{ln 2}^{2} (e^{x} - 2) d x$

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8. 用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + \dots + \frac{1}{2 n} < \frac{4}{5} - \frac{1}{2 n + 1} (n ⩾ 2 ， n \in N_{+})$ 的过程中由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边应添加的项为（）

A、 $\frac{1}{2 k + 2}$ B、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2}$ C、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2} - \frac{1}{k + 1}$ D、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2} - \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}$

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9. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，则函数y＝x $f^{'} (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高33.3米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为60.3米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是139.4米，下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（）．

A、 $20^{°}$ B、 $28^{°}$ C、 $38^{°}$ D、 $48^{°}$

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11. 偶函数 $f (x)$ 定义域为 $(- \frac{π}{2} ， 0) \cup (0 ， \frac{π}{2})$ ，其导函数是 $f' (x)$ .当 $0 < x < \frac{π}{2}$ 时，有 $f' (x) \cos x + f (x) \sin x < 0$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) > \sqrt{2} f (\frac{π}{4}) \cos x$ 的解集为（）

A、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ B、 $(- \frac{π}{2} ， \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ C、 $(- \frac{π}{4} ， 0) \cup (0 ， \frac{π}{4})$ D、 $(- \frac{π}{4} ， 0) \cup (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$

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12. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点. $P$ 为曲线 $C$ 右支上的点，点 $M$ 在 $∠ F_{1} P F_{2}$ 外角平分线上，且 $\vec{F_{2} M} \cdot \vec{P M} = 0$ .若 $△ O F_{2} M$ 恰为顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

13. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点坐标为．

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14. 曲线 $y = x^{3} - 2 x + 3$ 在 $x = 1$ 处的切线方程是.

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15. 记 $S_{k} = 1^{k} + 2^{k} + 3^{k} + \dots + n^{k}$ ，当 $k = 1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\dots$ 时，观察下列等式：
$S_{1} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ ，

$S_{2} = \frac{1}{3} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{6} n$ ，

$S_{3} = \frac{1}{4} n^{4} + \frac{1}{2} n^{3} + \frac{1}{4} n^{2}$ ，

$S_{4} = \frac{1}{5} n^{5} + \frac{1}{2} n^{4} + \frac{1}{3} n^{3} - \frac{1}{30} n$ ，

$S_{5} = A n^{6} + \frac{1}{2} n^{5} + \frac{5}{12} n^{4} + B n^{2}$ ，

$\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$

可以推测， $A - 2 B =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = x - \ln x - 1$ ， $g (x) = \ln | x |$ ， $F (x) = f [g (x)]$ ， $G (x) = g [f (x)]$ ，给出以下四个命题：（1） $y = F (x)$ 是偶函数；（2） $y = G (x)$ 是偶函数；（3） $y = F (x)$ 的最小值为 $0$ ；（4） $y = G (x)$ 有两个零点；其中真命题的是.

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三、解答题

17. 已知 $m \in R$ ，命题 $p :$ 对任意 $x \in [0, 1]$ ，不等式 $2 x - 4 \geq m^{2} - 5 m$ 恒成立，命题 $q :$ 方程 $\frac{x^{2}}{8 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆.

(1)、若命题 $p$ 为真，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若命题 $(\neg p) \land q$ 为真，求 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 4 x + 4$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \in [- 3 ， 6]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值.

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19. 已知点 $P (2, m)$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点， $F$ 为抛物线的焦点，且 $| P F | = 4$ ，直线 $l$ ： $y = k (x - 2)$ 与抛物线 $C$ 相交于不同的两点 $A$ ， $B$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若 $| A B | = 16$ ，求 $k$ 的值.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为梯形，且 $A B / / D C$ ， $A B ⊥ A D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明：平面 $P D C ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P A = P D = A B = \frac{1}{2} D C$ ， $∠ P A D = 60 °$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的正弦值.

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21. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点， $A F_{1}$ ， $B F_{1}$ 的中点分别为E，F， $△ O E F$ 的周长为 $2 \sqrt{2}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设 $△ A B F_{2}$ 的重心为G，若 $| O G | = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ，求直线l的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = x - 1 - a \ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明： $(1 + \frac{1}{1^{2} + 1}) (1 + \frac{1}{2^{2} + 2}) ... (1 + \frac{1}{n^{2} + n}) < e (n \in N^{*})$ .注： $e = 2.71828$ 为自然对数的底数.

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