江苏省扬州市宝应县2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = - 1 + 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{13}$

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2. 如果 $\frac{2}{1 + i} = 1 + m i$ （ $m \in R$ ， $i$ 表示虚数单位），那么 $m =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、0

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3. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) = 3 f^{'} (2) x + \ln x$ ，则 $f^{'} (2)$ 为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{\ln 2}{2}$ D、 $\frac{\ln 2}{2}$

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4. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x + \frac{1}{x})}^{'} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ B、 $(\log_{2} x)^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$ C、 $(3^{x})^{'} = 3^{x} \log_{3} e$ D、 $(\sin 2 x)^{'} = \cos 2 x$

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5. 用数学归纳法证明： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{3^{n} - 1} < n (n \in N_{+} ， n > 1)$ 时，在第二步证明从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 成立时，左边增加的项数是（）

A、 $2 \times 3^{k}$ B、 $3^{k}$ C、 $3^{k + 1}$ D、1

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6. 二项式（ $\sqrt{x}$ + $\frac{2}{x^{2}}$ ）¹⁰展开式中的常数项是（）

A、180 B、90 C、45 D、360

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7. 某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（）

A、45种 B、56种 C、90种 D、120种

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8. 由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（）

A、36个 B、42个 C、48个 D、120个

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9. 已知 $f (x) = a ln x + \frac{1}{2} x^{2} (a > 0)$ ，若对任意两个不等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ 恒成立，则a的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $[1, + \infty)$

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二、多选题

10. 若 ${(2 x + 1)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots a_{10} x^{10}, x \in R$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{0} = 0$ C、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} = 3^{10}$ D、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} = 3$

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11. 定义在R上的可导函数 $y = f (x)$ 的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（）

A、-3是 $f (x)$ 的一个极小值点； B、-2和-1都是 $f (x)$ 的极大值点； C、 $f (x)$ 的单调递增区间是 $(- 3 ， + \infty)$ ； D、 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(- \infty ， - 3)$ ．

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12. 已知 ${(a x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (a > 0)$ 的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（）

A、展开式中奇数项的二项式系数和为256 B、展开式中第6项的系数最大 C、展开式中存在常数项 D、展开式中含 $x^{15}$ 项的系数为45

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三、填空题

13. $C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5} =$

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14. 函数y=xe^x在其极值点处的切线方程为．

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15. 设 $f_{0} (x) = \cos x$ ， $f_{1} (x) = {f^{'}}_{0} (x)$ ， $f_{2} (x) = {f^{'}}_{1} (x)$ ， $f_{n + 1} (x) = {f^{'}}_{n} (x)$ $(n \in N)$ ，若 $Δ A B C$ 的内角 $A$ 满足 $f_{1} (A) + f_{2} (A) + f_{3} (A) + \dots + f_{2022} (A) = 0$ ，则 $\sin A$ =.

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} - 3 x ， x \leq a \\ - 2 x ， x > a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 无最大值，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17.

(1)、计算： $(C_{100}^{2} + C_{100}^{3}) \div A_{101}^{3}$

(2)、解方程： $3 A_{X}^{3} = 2 A_{X + 1}^{2} + 6 A_{X}^{2}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = x - a \ln x (a \in R)$ .
（Ⅰ）当 $a = 2$ 时，求曲线 $y =$ $f (x)$ 在点 $A (1, f (1))$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的极值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 (n + 1) a_{n} + 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、计算 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ，根据计算结果，猜想 $a_{n}$ 的表达式；

(2)、用数学归纳法证明你猜想的结论.

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20. 毕业季有6位好友欲合影留念，现排成一排，如果：

(1)、 $A$ 、 $B$ 两人不排在一起，有几种排法？

(2)、 $A$ 、 $B$ 两人必须排在一起，有几种排法？

(3)、 $A$ 不在排头， $B$ 不在排尾，有几种排法？

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21. 如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形 $A B C D$ 组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点 $P$ ），为了固定该设备，计划除从隧道最高点 $Q$ 处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自 $A ， B$ 两点分别使用钢管支撑.已知道路宽 $A B = 8 c m$ ，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为 $L$ .

(1)、①设 $P Q = x$ ，将 $L$ 表示为关于 $x$ 的函数；
②设 $∠ P A B = θ$ ，将 $L$ 表示为关于 $θ$ 的函数；

(2)、请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？

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22. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{2} a x^{2} + (1 + a) x - \ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $a = 0$ 时，设函数 $g (x) = x f (x)$ ，若存在区间 $[m ， n] \subseteq [\frac{1}{2} ， + \infty)$ ，使得函数 $g (x)$ 在 $[m ， n]$ 上的值域为 $[k (m + 2) - 2 ， k (n + 2) - 2]$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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