江苏省宿迁市沭阳县2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{1 - i}{i}$ （其中 $i$ 是虚数单位）的虚部是（）.

A、 $1$ B、 $i$ C、-1 D、 $- i$

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2. 下列求导数运算正确的是（）

A、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ B、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \ln 3$ C、 ${(x \ln x)}^{'} = \ln x - 1$ D、 ${(\sin \frac{x}{3})}^{'} = \cos \frac{x}{3}$

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3. 棣莫弗公式 ${(\cos x + i \sin x)}^{n} = \cos n x + i \sin n x$ （ $i$ 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 ${(\cos \frac{π}{5} + i \sin \frac{π}{5})}^{6}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 函数 $f (x) = \frac{5}{x} + \ln x$ 的单调减区间为（）.

A、 $(- \infty ， 5)$ B、 $(0 ， 5)$ C、 $(5 ， + \infty)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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5. 函数 $f (x) = 2 x + \frac{1}{x} - 1$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上（）.

A、有最大值，无最小值 B、有最小值，无最大值 C、既有最大值，又有最小值 D、既无最大值，又无最小值

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6. 设 $f (x) = x \ln x ， f^{'} (x_{0}) = 2$ ，则 $x_{0} =$ （）

A、 $e^{2}$ B、 $e$ C、 $\frac{\ln 2}{2}$ D、 $\ln 2$

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7. 已知函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极大值，则常数c的值为（）.

A、1或3 B、3 C、1 D、-1

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8. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln x - 1$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围（）.

A、 $[\frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $[e ， + \infty)$

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二、多选题

9. 对于复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ ，下列结论错误的是（）.

A、若 $a = 0$ ，则 $a + b i$ 为纯虚数 B、若 $a - b i = 3 + 2 i$ ，则 $a = 3, b = 2$ C、若 $b = 0$ ，则 $a + b i$ 为实数 D、纯虚数 $z$ 的共轭复数是 $- z$

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10. 直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 能作为下列（）函数的图象的切线.

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = x^{4}$ C、 $f (x) = \cos x$ D、 $f (x) = \ln x$

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11. 如图是 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（）.

A、 $f (x)$ 在 $[- 2，1]$ 上是增函数； B、当 $x = 4$ 时， $f (x)$ 取得极小值； C、 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上是增函数、在 $[2，4]$ 上是减函数； D、当 $x = 1$ 时， $f (x)$ 取得极大值.

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12. 若函数 $f (x) \cdot \ln x$ 在定义域上单调递增，则称函数 $f (x)$ 具有 $M$ 性质.下列函数中所有具有 $M$ 性质的函数为（）.

A、 $f (x) = \frac{1}{e}$ B、 $f (x) = x - 1$ C、 $f (x) = \frac{1}{e^{x}}$ D、 $f (x) = e^{x}$

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三、填空题

13. 计算 $(2 - 3 i) (2 + 3 i) =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = \tan x$ ，那么 $f^{'} (\frac{π}{4})$ 的值为.

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15. 函数 $f (x) = 2 \sin x - a x$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的单调递减，则实数a的取值范围为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{3} + 3 x - 4 a ， x \geq a \\ x^{3} - 3 x + 2 a ， x < a \end{matrix}$ ，若存在 $x_{0} > 0$ ，使得 $f (x_{0}) = 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $m \in R$ ，复数 $z = (m - 2) + (m^{2} - 9) i$ .

(1)、若 $z$ 对应的点在第一象限，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 与复数 $\frac{8}{m} + 5 i$ 相等，求 $m$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} ， a \in R$ 且 $f^{'} (1) = 3$ .

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的最大值.

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19. 已知复数 $z_{1} = x + y i, z_{2} = 3 - 4 i$ （ $x, y \in R$ ， $i$ 为虚数单位）.

(1)、若 $y = 2$ 且 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是纯虚数，求实数 $x$ 的值；

(2)、若复数 $| z_{1} - z_{2} | = 1$ ，求 $| z_{1} |$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a}{x + 1}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为 $1$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极值，求 $a$ 的值及 $f (x)$ 的单调区间.

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21. 如图所示，直角梯形公园 $O A B C$ 中， $O C ⊥ O A ， O A // B C$ ， $O A = 2 k m$ ， $O C = B C = 1 k m$ ，公园的左下角阴影部分为以 $O$ 为圆心，半径为 $1 k m$ 的 $\frac{1}{4}$ 圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切的观光道路 $E F$ （点 $E ， F$ 分别在 $O A$ 与 $B C$ 上）， $D$ 为切点，设 $∠ D O E = θ$ .

(1)、试求观光道路 $E F$ 长度的最大值；

(2)、公园计划在道路 $E F$ 的右侧种植草坪，试求草坪 $A B F E$ 的面积最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x + a ， g (x) = x e^{x} - 2 x$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \leq g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立.

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