江苏省宿迁市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = 1 - i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、-1 D、1

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2. 把3封信投入4个邮桶，共有不同的投法数为（）

A、 $A_{4}^{3}$ B、 $C_{4}^{3}$ C、 $3^{4}$ D、 $4^{3}$

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3. 函数 $y = {(2 x + 1)}^{2}$ 在 $x = 0$ 处的导数为（）

A、0 B、1 C、3 D、4

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4. 函数 $f (x) = x - \ln x$ 的单调递减区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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5. 设曲线 $y = \frac{x + 1}{x - 2}$ 在点 $(1 ， - 2)$ 处的切线与直线 $a x - b y + c = 0$ 垂直，则 $\frac{a}{b}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、3 D、-3

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6. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数，且 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x + \frac{1}{2} \sin x$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) < f (2 x - 1)$ 的解集为（）

A、 ${x ∣ 1 < x < 3}$ B、 ${x ∣ x < 1}$ C、 ${x | x < \frac{1}{3}$ 或 $x > 1}$ D、 ${x ∣ \frac{1}{3} < x < 1}$

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7. 把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（）

A、12种 B、18种 C、24种 D、36种

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8. 已知函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，满足 $\forall x \in R$ ， $f^{'} (x) > f (x)$ 且 $f (1) = e$ ，则不等式 $f (\ln x) < x$ 的解集为（）

A、 $(e ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， e)$ D、 $(0 ， 1)$

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二、多选题

9. 若函数 $y = e^{x} (x^{2} - 6 x + a)$ 有极值，则 $a$ 的可能取值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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10. 已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为复数，下列命题不正确的是（）

A、若 $z_{1} = z_{2}$ ，则 $| z_{1} | = | z_{2} |$ B、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ C、若 $z_{1} > z_{2}$ 则 $| z_{1} | > | z_{2} |$ D、若 $| z_{1} | > | z_{2} |$ ，则 $z_{1} > z_{2}$

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11. 已知 $f (x) = x (x - 1) (x - 2) \cdot \cdot \cdot (x - 20)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f^{'} (0) = 20!$ B、 $f^{'} (1) = 19!$ C、 $f^{'} (19) = - 19!$ D、 $f^{'} (20) = - 20!$

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12. 已知 ${(3 x - 1)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{9} x^{9}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $a_{0} = - 1$ B、 $a_{1} = 27$ C、 $a_{2} = - 324$ D、 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{9} = 512$

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三、填空题

13. $- 3$ 的平方根是.

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14. 函数 $y = x^{3} + 2 x^{2} + m x + 1$ 是 $R$ 上的单调函数，则 $m$ 的范围是.

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15. 已知 $A_{n}^{2} = 7 A_{n - 4}^{2}$ ，那么 $n =$ .

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16. 若函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处有极值，且 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的“ $F$ 点”.已知函数 $g (x) = a x^{3} +$ $b x^{2} + c x (a ， b ， c \in R ， a \neq 0)$ 存在两个不相等的“ $F$ 点” $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | \geq 2$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知复数 $z = (m^{2} + 3 m - 18) + (m^{2} - 3 m) i ， m \in R$ ，其中 $i$ 为虚数单位.

(1)、若复数 $z$ 是实数，求实数 $m$ 的值；

(2)、若复数 $z$ 是纯虚数，求实数 $m$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} x^{2} + 3$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最大值和最小值.

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19. 一天的课表有7节课，其中上午4节，下午3节，要排语文，数学，外语，微机，体育，地理，物理7节课.

(1)、语文课排第1节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）

(2)、数学课不排第7节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）

(3)、体育课不排第1节课，微机课不排第7节课，共有多少种不同的排课方法？（用数字作答）

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20. 求值：

(1)、 $C_{4}^{3} + C_{5}^{3} + C_{6}^{3} + \cdot \cdot \cdot + C_{30}^{3}$ ；

(2)、 $C_{30}^{1} + 2 C_{30}^{2} + 3 C_{30}^{3} + \cdot \cdot \cdot + 30 C_{30}^{30}$ .

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21. 设函数 $f (x ， y) = {(1 + m y)}^{x} (m > 0 ， y > 0)$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $f (9 ， y)$ 的展开式中二项式系数最大的项；

(2)、已知 $f (2 n ， y)$ 的展开式中各项的二项式系数和比 $f (n ， y)$ 的展开式中各项的二项式系数和大4032，若 $f (n ， y) = a_{0} + a_{1} y + \cdot \cdot \cdot + a_{n} y^{n}$ ，且 $a_{2} = 135$ ，求 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$

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22. 设函数 $f (x) = x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2} - 2 a^{2} x + 1$ ， $g (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - 2 x + 1$ 其中 $a \in R$ 且 $a \neq 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象只有一个公共点且 $g (x)$ 存在最大值时，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在区间 $(a ， a + 2)$ 内均为增函数，求 $a$ 的取值范围.

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