江苏省苏州市张家港市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{2}{{(1 + i)}^{2}}$ 的虚部为（）

A、-1 B、1 C、2 D、-2

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2. 函数 $f (x) = x^{2} - \sin x$ 在[0，π]上的平均变化率为（）

A、1 B、2 C、π D、 $π^{2}$

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3. 若 ${(x - \frac{\sqrt{a}}{x^{2}})}^{6}$ 展开式中常数项为60.则常数a的值为（）

A、4 B、2 C、8 D、6

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4. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（）

A、36 B、72 C、600 D、480

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5. 某篮球运动员每次投篮投中的概率是 $\frac{4}{5}$ ，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为 $m$ ，则 $m$ 的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 函数 $f (x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x (x \in [- π ， 0])$ 的单调递增区间是（）

A、 $[- π ， - \frac{5 π}{6}]$ B、 $[- \frac{5 π}{6} ， - \frac{π}{6}]$ C、 $[- \frac{π}{3} ， 0]$ D、 $[- \frac{π}{6} ， 0]$

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7. 已知 $n$ 为正整数，若 ${1.15}^{10} \in [n ， n + 1)$ ，则 $n$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 如图，湖面上有4个相邻的小岛 $A ， B ， C ， D$ ，现要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有m种不同的方案，则m的值为（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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二、多选题

9. 若 ${(x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中存在常数项，则n的取值可以是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 下列选项中，在 $(- \infty ， + \infty)$ 上单调递增的函数有（）

A、 $f (x) = x^{4}$ B、 $f (x) = x - \sin x$ C、 $f (x) = x e^{x}$ D、 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 x$

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11. 已知复数 $z$ 满足 $z^{2} = - 7 - 24 i$ ，在复平面内，复数 $z$ 对应的点可能在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12. 记函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ 的图象为 $Γ$ ，下列选项中正确的结论有（）

A、函数 $f (x)$ 既有极大值又有极小值 B、至少存在两条直线与 $Γ$ 恰有两个公共点 C、 $Γ$ 上存在三个点构成的三角形为等腰三角形 D、 $Γ$ 上存在四个点构成的四边形为菱形

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三、填空题

13. 若直线 $y = e x + m$ （e是自然对数的底）是曲线 $y = \ln x$ 的一条切线，则实数m的值是．

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14. 已知随机变量X的概率分布如下表所示， $E (X) = \frac{4}{3}$ ，则 $a + b =$ ， $a =$ ．

X

0

1

2

3

P

$\frac{1}{4}$

a

b

$\frac{1}{6}$

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15. 从集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10}$ 中任取3个数构成递增的等比数列，则这样的不同的等比数列共有种．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} = \frac{n (n - 1) (n - 2)}{6}$ ，则 $S_{10} =$ ．

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四、解答题

17. 已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为虚数，且满足 $| z_{1} | = 5$ ， $z_{2} = 3 + 4 i$ ．

(1)、若 $z_{1} z_{2}$ 是纯虚数，求 $z_{1}$ ；

(2)、求证： $\frac{z_{1} - 5}{z_{1} + 5}$ 为纯虚数．

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18. 设 ${(3 x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，求下列各式的值：

(1)、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ ；

(2)、 $a_{0} + a_{2} + a_{4}$ ；

(3)、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5}$ ．

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19. 某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目 $A$ ， $B$ ， $C$ 的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过 $A$ ， $B$ ， $C$ 每个项目测试的概率都是 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求甲恰好通过两个项目测试的概率；

(2)、设甲、乙、丙三人中被录用的人数为 $X$ ，求 $X$ 的概率分布和数学期望.

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20. 如图，已知海岛 $A$ 到海岸公路 $B C$ 的距离 $A B$ 为50km， $B ， C$ 间的距离为100km，从 $A$ 到 $C$ ，必须先坐船到 $B C$ 上的某一点 $D$ ，船速为 $25 k m / h$ ，再乘汽车到 $C$ ，车速为 $50 k m / h$ ，记 $∠ B D A = θ$ ．

(1)、试将由 $A$ 到 $C$ 所用的时间 $t$ 表示为 $θ$ 的函数 $t (θ)$ ；

(2)、问 $θ$ 为多少时，由 $A$ 到 $C$ 所用的时间 $t$ 最少？

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21. 已知 $a ， b ， c \in R$ ，函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (x - c)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ．

(1)、若 $b = c$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(b ， f (b))$ 处的切线方程；

(2)、求 $\frac{1}{f^{'} (a)} + \frac{1}{f^{'} (b)} + \frac{1}{f^{'} (c)}$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}} (x > 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有两个零点，求实数m的取值范围；

(3)、若不等式 $f^{2} (x) - a f (x) > 0$ 仅有一个整数解，求实数a的取值范围．

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X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{4}$	a	b	$\frac{1}{6}$