江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{2 i}{i - 1}$ （其中 $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 的虚部为（）

A、-1 B、 $- i$ C、1 D、 $i$

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2. 火车开出车站一段时间内，速度 $v$ （单位：m/s）与行驶时间 $t$ （单位：s）之间的关系是 $v (t) = 0.4 t + 0.6 t^{2}$ ，则火车开出几秒时加速度为 $2.8$ m/s²？（）

A、 $\frac{3}{2}$ s B、2s C、 $\frac{5}{2}$ s D、 $\frac{7}{3}$ s

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3. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $A_{1} B D$ 与平面 $A B C D$ 所成二面角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有（）

A、240种 B、144种 C、72种 D、24种

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5. 若函数 $f (x) = x^{3} - 3 b x + 2$ 在区间 $(2 ， 3)$ 内单调递增，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 $b \leq 4$ B、 $b < 4$ C、 $b \geq 4$ D、 $b > 4$

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6. 如图，在圆锥 $P O$ 的轴截面 $P A B$ 中， $∠ A P B = 60 °$ ，有一小球 $O_{1}$ 内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球 $O_{1}$ 的体积为 $V_{1}$ ，圆锥 $P O$ 的体积为 $V$ ，则 $V_{1} ： V$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 若函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}} - a x$ 存在两个不同零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{e})$ B、 $(0, \frac{1}{e})$ C、 $(- \infty, 0) \cup {\frac{1}{e}}$ D、 $(- \infty, 0) \cup {0, \frac{1}{e}}$

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8. 从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（）

A、252 B、216 C、162 D、228

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二、多选题

9. 以下函数求导正确的是（）

A、若 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ B、若 $f (x) = e^{2 x}$ ，则 $f^{'} (x) = e^{2 x}$ C、若 $f (x) = \sqrt{2 x - 1}$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ D、若 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3})$ ，则 $f^{'} (x) = - \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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10. 下面四个命题中的真命题为（）

A、若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} \in R$ ，则 $z \in R$ B、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ D、若复数 $z \in R$ ，则 $\bar{z} \in R$

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11. 以下关于函数 $f (x) = x + \frac{1}{x^{2}}$ 的说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上不单调 B、函数 $f (x)$ 在定义域上有唯一零点 C、函数 $f (x)$ 的最小值为 $\frac{3}{2} \sqrt[3]{2}$ D、 $x = \sqrt[3]{2}$ 是 $f (x)$ 的一个极值点

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12. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，将 $△ A B D$ 沿对角线 $B D$ 翻折到 $△ P B D$ 位置，连结 $P C$ ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、 $P C$ 与平面 $B C D$ 所成的最大角为 $45^{\circ}$ B、存在某个位置，使得 $P B ⊥ C D$ C、当二面角 $P - B D - C$ 的大小为 $90^{\circ}$ 时， $P C = \sqrt{6}$ D、存在某个位置，使得 $B$ 到平面 $P D C$ 的距离为 $\sqrt{3}$

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三、填空题

13. 复数 $z$ 满足 $z = \frac{3 - i}{i}$ （其中 $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 的模等于.

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14. 设函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = x^{2} + 3 f^{'} (1) x + 1$ ，则 $f (3)$ 的值为.

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15. 用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有种不同的涂色方法.（用数字回答）

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16. 已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长均为 $a$ ，则对棱 $A B$ 与 $C D$ 间的距离为，该四面体的外接球表面积为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 满足 $z + 3 i$ 为实数， $\frac{z}{2 - i}$ 为纯虚数，其中 $i$ 是虚数单位.

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若复数 $z_{1} = \bar{z} + 2 m + (m^{2} - 5) i$ 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = a x + b x \ln x$ ， $f (x)$ 在 $x = e$ 处的切线方程是 $x + y - e = 0$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数.

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值.

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19. 某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法，（用数字回答）

(1)、每人恰好参加一项，每项人数不限；

(2)、每项限报一人，且每人至多参加一项；

(3)、每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A D = 4$ ， $A B = 2$ ， $M$ 是 $P D$ 上一点，且 $B M ⊥ P D$ .

(1)、求异面直线 $P B$ 与 $C M$ 所成角余弦的大小；

(2)、求点 $M$ 到平面 $P A C$ 的距离.

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B // C D$ ， $A B = A C = A D = 3$ ， $P A = C D = 4$ ， $E$ 为线段 $A B$ 上一点， $A E = 2 E B$ ， $M$ 为 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $E M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $A M$ 与平面 $P C E$ 所成角的正弦值.

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22. 已知 $f (x) = a (x - \ln x) + \frac{2 x - 1}{x^{2}}, a \in R$ ．
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）当 $a = 1$ 时，证明 $f (x) > f' (x) + \frac{3}{2}$ 对于任意的 $x \in [1, 2]$ 成立．

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