江苏省苏州市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-12 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 复数 $\frac{1 - i}{1 + i}$ （其中i是虚数单位）的实部是（）

A、1 B、-1 C、-2 D、0

查看试题解析
2. 如果一质点的运动方程为 $S = 2 t^{3}$ （位移单位：米；时间单位：秒），则该质点在 $t = 3$ 秒时的瞬时速度为（）

A、6米/秒 B、18米/秒 C、54米/秒 D、81米/秒

查看试题解析
3. ${(x - \frac{1}{x})}^{10}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是（）

A、-210 B、-120 C、120 D、210

查看试题解析
4. 导数公式“ ${(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{}{g^{2} (x)}$ ”中分子应为（）

A、 $f (x) g^{'} (x) - f^{'} (x) g (x)$ B、 $f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)$ C、 $f (x) g (x) - f^{'} (x) g^{'} (x)$ D、 $f^{'} (x) g^{'} (x) - f (x) g (x)$

查看试题解析
5. 平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的表面积是（）

A、100π B、 $\frac{416 \sqrt{3} π}{3}$ C、20π D、 $\frac{500 π}{3}$

查看试题解析
6. 5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有1人的排法共有（）

A、24种 B、36种 C、48种 D、72种

查看试题解析
7. 已知 $C_{28}^{x} = C_{28}^{2 x - 8}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、6 B、8 C、12 D、8或12

查看试题解析
8. 若 $a = \frac{\ln 2}{2}$ ， $b = \frac{\ln 3}{3}$ ， $c = \frac{\ln 5}{5}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

查看试题解析

二、多选题

9. 如图，在四面体 $A B C D$ 中，截面 $P Q M N$ 是正方形，则在下列命题中，正确的为（）

A、 $A C ⊥ B D$ B、 $A C / /$ 截面 $P Q M N$ C、 $A C = B D$ D、异面直线 $P M$ 与 $B D$ 所成的角为 $45 °$

查看试题解析
10. 已知复数 $z = - 1 + \sqrt{3} i$ ( $i$ 为虚数单位)， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，若复数 $w = \frac{\bar{z}}{z}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $w$ 在复平面内对应的点位于第二象限 B、 $| w | = 1$ C、 $w$ 的实部为 $- \frac{1}{2}$ D、 $w$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2} i$

查看试题解析
11. 下列组合数公式中恒成立的有（）

A、 $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ B、 $m C_{n}^{m} = n C_{n - 1}^{m - 1}$ C、 $C_{n + 1}^{m + 1} = C_{n}^{m} + C_{n + 1}^{m}$ D、 ${(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + {(C_{n}^{2})}^{2} + \cdot \cdot \cdot + {(C_{n}^{n})}^{2} = C_{2 n}^{n}$

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a \ln x$ 的定义域是 $D$ ，有下列四个命题，其中正确的有（）

A、对于 $\forall a \in$ ( $- \infty$ ，0)，函数 $f (x)$ 在 $D$ 上是单调增函数 B、对于 $\forall a \in$ (0， $+ \infty$ )，函数 $f (x)$ 存在最小值 C、存在 $a \in$ ( $- \infty$ ，0)，使得对于任意 $x \in D$ ，都有 $f (x) > 0$ 成立 D、存在 $a \in$ (0， $+ \infty$ )，使得函数 $f (x)$ 有两个零点

查看试题解析

三、填空题

13. 若复数 $z$ 满足 $| z | = 1$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z - 2 i |$ 的最小值是.

查看试题解析
14. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2$ ， $A D = a$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，若边 $A B$ 上存在点 $M$ ，使得 $P M ⊥ C M$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

查看试题解析
15. ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + \cdot \cdot \cdot + {(1 + x)}^{20}$ 中 $x^{2}$ 的系数为．

查看试题解析
16. 函数 $f (x)$ 在(0， $+ \infty$ )上有定义，对于给定的正数 $K$ ，定义函数 $f_{K} (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， f (x) \leq K \\ K ， f (x) > K \end{array}$ ，取函数 $f (x) = \frac{5}{2} x^{2} - 3 x^{2} \ln x$ ，若对任意 $x \in$ (0， $+ \infty$ )，恒有 $f_{K} (x) = f (x)$ ，则 $K$ 的最小值为．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x + a x^{2} + b \ln x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $2 x - y - 2 = 0$ ．
（Ⅰ）求 $a ， b$ 的值；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的极大值．

查看试题解析
18. 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．

(1)、某女生一定担任语文科代表；

(2)、某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；

(3)、某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．

查看试题解析
19. 如图：设一正方形纸片ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中 $A H ⊥ P Q$ ，O为正四棱锥底面中心．
（Ⅰ）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积Ｖ；
（Ⅱ）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S的范围．

查看试题解析
20. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ， $A_{1} A = 4$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点．

(1)、求异面直线 $A_{1} B$ ， $A C_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求直线 $A B_{1}$ 与平面 $C_{1} A D$ 所成角的正弦值；

(3)、求异面直线 $A_{1} B$ 与 $A D$ 的距离．

查看试题解析
21. 已知函数 $f_{n} (x) = {(1 + λ x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ ，其中 $λ \in R$ ．

(1)、若 $λ = - 2$ ， $n = 2020$ ，求 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2020}$ 的值；

(2)、若 $n = 8$ ， $a_{7} = 1024$ ，求 $a_{i}$ ( $i = 0$ ，1，2，3，…，8)的最大值；

(3)、若 $λ = - 1$ ，求证： $\sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} \frac{k}{n} x^{k} f_{n - 1} (x) = x$ ．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $a > 0$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[2 a ， 4 a]$ 上的最小值；

(3)、某同学发现：总存在正实数 $a$ ， $b (a < b)$ ，使 $a^{b} = b^{a}$ ，试问：该同学的判断是否正确?若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出 $a$ 的取值范围（不需要解答过程）．

查看试题解析