江苏省南通市通州区2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $z = - 1 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位）对应的点所在象限是（）

A、一 B、二 C、三 D、四

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2. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（　　）

A、 $\hat{y} = 1.23 x + 4$ B、 $\hat{y} = 1.23 x + 5$ C、 $\hat{y} = 1.23 x + 0.08$ D、 $\hat{y} = 0.08 x + 1.23$

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3. 已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = k) = \frac{k}{10} (k = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $P (1 < X \leq 3) =$ （）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（）

A、36 B、72 C、600 D、480

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5. 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投篮2次，则两人各投中一次的概率为（）

A、0.42 B、0.2016 C、0.1008 D、0.0504

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6. 设 $a \in Z$ ，且 $0 \leq a \leq 16$ ，若 $4^{2020} + a$ 能被17整除，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、4 C、13 D、16

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7. 在某区2020年5月份的高二期中质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布 $X \sim N (98 ， 100)$ .已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是（）
附：若 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ .

A、1500 B、1700 C、4500 D、8000

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8. 函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} - 3 x}$ ， $x \in (- 3 ， 0) \cup (0 ， 3)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

9. 若 $C_{28}^{x} = C_{28}^{3 x - 8}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、4 B、6 C、9 D、18

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10. 若直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 是函数 $f (x)$ 图像的一条切线，则函数 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = x^{4}$ C、 $f (x) = \sin x$ D、 $f (x) = e^{x}$

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11. 下列说法正确的有（）

A、任意两个复数都不能比大小 B、若 $z = a + b i (a \in R ， b \in R)$ ，则当且仅当 $a = b = 0$ 时， $z = 0$ C、若 $z_{1} ， z_{2} \in C$ ，且 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ D、若复数 $z$ 满足 $| z | = 1$ ，则 $| z + 2 i |$ 的最大值为3

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12. 已知 $(1 + \frac{a}{x}) {(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）

A、 $a = 1$ B、展开式中常数项为160 C、展开式系数的绝对值的和1458 D、若 $r$ 为偶数，则展开式中 $x^{r}$ 和 $x^{r - 1}$ 的系数相等

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三、填空题

13. 计算 $C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + C_{6}^{2} =$ .

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14. 设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为 $\frac{6}{7}$ ，则口袋中白球的个数为.

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15. 已知 $(x + m) {(2 x - 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{8} x^{8} (m \in R)$ ，若 $a_{1} = 27$ ，则 $\sum_{i = 1}^{8} (i \cdot a_{i})$ 的值为.

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16. 规定 $A_{x}^{m} = x (x - 1) \dots (x - m + 1)$ ，其中 $x \in R$ ， $m \in N^{*}$ ，且 $A_{x}^{0} = 1$ ，这是排列数 $A_{n}^{m}$ （ $n ， m \in N^{*}$ ，且 $m \leq n$ ）的一种推广.则 $A_{\sqrt{3} + 1}^{3} =$ ，则函数 $f (x) = A_{x}^{3}$ 的单调减区间为.

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四、解答题

17. 已知 $z_{1} = a + 2 i$ ， $z_{2} = 3 - 4 i$ （其中 $i$ 为虚数单位）.

(1)、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为纯虚数，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $| z_{1} - \bar{z_{2}} | < | z_{1} |$ （其中 $\bar{z_{2}}$ 是复数 $z_{2}$ 的共轭复数），求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}})}^{n} (n \geq 3, n \in N^{*})$ 的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中含 $x^{2}$ 的项.

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19. 近期，某学校举行了一次体育知识竞赛，并对竞赛成绩进行分组：成绩不低于80分的学生为甲组，成绩低于80分的学生为乙组.为了分析竞赛成绩与性别是否有关，现随机抽取了60名学生的成绩进行分析，数据如下图所示的

2 \times 2

列联表.

	甲组	乙组	合计
男生		3
女生	13
合计	40		60

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

参考数据及公式：

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、将

2 \times 2

列联表补充完整，判断是否有

90 %

的把握认为学生按成绩分组与性别有关？

(2)、如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率.

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - a^{2} x + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 1]$ 上的最大值；

(2)、当 $a \geq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值.

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21. 为抗击疫情，中国人民心连心，向世界展示了中华民族的团结和伟大，特别是医护工作者被人们尊敬的称为“最美逆行者”，各地医务工作者主动支援湖北武汉.现有7名医学专家被随机分配到“雷神山”、“火神山”两家医院.

(1)、求7名医学专家中恰有两人被分配到“雷神山”医院的概率；

(2)、若要求每家医院至少一人，设 $X$ ， $Y$ 分别表示分配到“雷神山”、“火神山”两家医院的人数，记 $ξ = | X - Y |$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ .

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数.

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = x^{2} + | f (x) |$ ，求函数 $g (x)$ 的单调区间；

(3)、设 $h (x) = m f (x) - \ln x$ ，求证：当 $0 < m < \frac{1}{e}$ 时，函数 $h (x)$ 恰有2个不同零点.

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