江苏省连云港市东海县2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-12 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = 4 - 5 i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $5 i$ B、5 C、 $- 5 i$ D、-5

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = 5 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $\frac{5}{3} + \frac{10}{3} i$ D、 $- \frac{5}{3} + \frac{10}{3} i$

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3. 如图，点A（x₁ ， f（x₁）），B（x₂ ， f（x₂））在函数f（x）的图象上，且x₂＜x₁ ， $f^{'} (x)$ 为f（x）的导函数，则 $f^{'} (x_{1})$ 与 $f^{'} (x_{2})$ 的大小关系是（）

A、 $f^{'} (x_{1}) > f^{'} (x_{2})$ B、 $f^{'} (x_{1}) < f^{'} (x_{2})$ C、 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2})$ D、不能确定

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4. 已知复数 $| z | = 1$ ， $i$ 为虚数单位，则 $| z - 3 + 4 i |$ 的最小值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 若直线 $y = x + m$ 是曲线 $y = e^{x}$ 的一条切线，则实数 $m$ 的值是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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6. 某医院计划从3名医生，9名护士中选派5人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战，要求选派的5人中至少要有2名医生，则不同的选派方法有（）

A、495种 B、288种 C、252种 D、126种

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7. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，且 $P A = A B = B C = 1$ ，则二面角 $A - P C - B$ 的大小是（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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8. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (- 1) = 2 e$ ，对任意 $x \in R$ ， $f (x) + f' (x) > 0$ ，则不等式 $e^{x} f (x) + 2 x > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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二、多选题

9. 下列各式中，等于 $n!$ 的是（）

A、 $A_{n}^{n - 1}$ B、 $A_{n + 1}^{n}$ C、 $n A_{n - 1}^{n - 1}$ D、 $m! C_{n}^{m}$

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10. 下列关于复数的说法，其中正确的是（）

A、复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 是实数的充要条件是 $b = 0$ B、复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 是纯虚数的充要条件是 $b \neq 0$ C、若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 互为共轭复数，则 $z_{1} z_{2}$ 是实数 D、若 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于 $y$ 轴对称

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11. 已知 $f' (x)$ 是定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的导函数，如图是函数 $y = x f' (x)$ 的图象，则下列关于函数 $f (x)$ 性质说法正确的是（）

A、单调递增区间是 $(- \infty ， - 3)$ ， $(0 ， 3)$ B、单调递减区间是 $(- \infty ， - 3)$ ， $(3 ， + \infty)$ C、 $f (- 3)$ 是极小值 D、 $f (3)$ 是极小值

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12. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{2}{x}$ ，则下列判断正确的是（）

A、存在 $x \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x) < 0$ B、函数 $f (x)$ 的递减区间是 $(0 ， 2)$ C、任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) > 0$ D、对任意两个正实数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{2} > x_{1}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 4$

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三、填空题

13. 计算 $C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + C_{6}^{2} =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = \cos x + \frac{1}{2} x$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间为.

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15. 若函数 $f (x) = a x^{2} + 2 (a - 1) x - 2 \ln x - 1$ 只有一个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右的第1行第3个数是；若第 $n$ 行从左到右第12个数与第13个数的比值为 $\frac{3}{4}$ ，则 $n =$ .

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四、解答题

17. 2名女生、4名男生排成一排，求：

(1)、2名女生不相邻的不同排法共有多少种？

(2)、女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} - x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的最小值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上是单调递减函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 设 ${(2 x - 1)}^{9} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{9} x^{9}$ ，求：

(1)、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{9}$ ；

(2)、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + 9 a_{9}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = (k x - k - 1) e^{x} (k \neq 0)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最大值 $g (k)$ .

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21. 如图，在底面边长为 $6 m$ 、高为 $3 m$ 的正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 展厅内，长为 $6 m$ ，宽为 $1 m$ 的矩形油画 $M N O P$ 挂在厅内正前方中间.

(1)、求证：平面 $M N O P ⊥$ 平面 $B F F_{1} B_{1}$ ；

(2)、当游客 $Q$ 在 $A F$ 上看油画的纵向视角（即 $∠ P Q M$ ）最大时，求 $M Q$ 与油画平面所成的角.

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22. 已知函数 $f (x) = \sin x - e^{x - 2}$ ，求证：

(1)、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 存在唯一极大值点；

(2)、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上有且仅有2个零点.

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