高中数学人教A版（2019）必修二第七章复数单元测试

试卷更新日期：2021-04-08 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = | \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i |$ ，则 $z$ 的共轭复数是（）

A、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$

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3. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. $i$ 是虚数单位，若 $\frac{1 - 7 i}{2 + i} = a + b i (a, b \in R)$ ，则 $a b$ 的值是（）

A、-15 B、-3 C、3 D、15

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5. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是 $(1, 2)$ ，则 $i \cdot z =$ （）．

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 2 + i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 2 - i$

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6. 已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $z = \frac{3 + 7 i}{i}$ 的实部和虚部分别为（）

A、7， $- 3 i$ B、-7，3 C、-7， $3 i$ D、7，-3

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7. 若复数z为纯虚数，且 $z = \frac{m + i}{1 - 2 i}, m \in R$ ，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、2

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8. 欧拉公式 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数 $cos θ$ 和 $\sin θ$ 联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足 $(e^{i π} - z) \cdot i = 1 + i$ 则 | z | =（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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9. 已知 $a + 3 i (1 + i) = 2 + b i$ ( $a, b \in R$ ， $i$ 为虚数单位)，则实数a+b的值为（）

A、3 B、5 C、6 D、8

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10. 若复数z的共轭复数记作 $\overline{z}$ ，且复数 $z$ 满足 $2 z + \bar{z} = 3 - 2 i$ ，其中i为虚数单位，所以 $\overline{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、-2 D、2

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11. 若 $z = \cos θ + i \sin θ$ ( $θ \in R ， i$ 是虚数单位)，则 $| z - 2 - 2 i |$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $2 \sqrt{2} - 1$

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12. 若复数 $z = (\sin θ - \frac{3}{5}) + (\cos θ - \frac{4}{5}) i$ 是纯虚数，则 $\tan (θ - \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、-7 B、 $- \frac{1}{7}$ C、7 D、-7 或 $- \frac{1}{7}$

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二、多选题

13. 设 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 为复数， $z_{1} \neq 0$ ．下列命题中正确的是（）

A、若 $| z_{2} | = | z_{3} |$ ，则 $z_{2} = \pm z_{3}$ B、若 $z_{1} z_{2} = z_{1} z_{3}$ ，则 $z_{2} = z_{3}$ C、若 ${\bar{z}}_{2} = z_{3}$ ，则 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} z_{3} |$ D、若 $z_{1} z_{2} = {| z_{1} |}^{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$

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14. 已知复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = i$ $($ $i$ 为虚数单位 $)$ ，复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、 $| z | = \frac{3}{5}$ B、 $\bar{z} = - \frac{1 + 2 i}{5}$ C、复数 $z$ 的实部为-1 D、复数 $z$ 对应复平面上的点在第二象限

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15. 已知复数 $z = \cos θ + i \sin θ (- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2})$ （其中 $i$ 为虚数单位）下列说法正确的是（）

A、复数 $z$ 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B、 $z$ 可能为实数 C、 $| z | = 1$ D、 $\frac{1}{z}$ 的虚部为 $\sin θ$

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16. 已知集合 $M = {m | m = i^{n}, n \in N}$ ，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（）

A、 $(1 - i) (1 + i)$ B、 $\frac{1 - i}{1 + i}$ C、 $\frac{1 + i}{1 - i}$ D、 ${(1 - i)}^{2}$

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三、填空题

17. 设复数 $z$ 满足 $| z | = 1$ ，且使得关于 $x$ 的方程 $z x^{2} + 2 \bar{z} x + 3 = 0$ 有实根，则这样的复数 $z$ 的和为.

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18. 已知复数 $z = x + y i (x ， y \in R)$ ，且 $| z - 2 | = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为．

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19. 下列命题（ $i$ 为虚数单位）中：①已知 $a, b \in R$ 且 $a = b$ ，则 $(a - b) + (a + b) i$ 为纯虚数；②当 $z$ 是非零实数时， $| z + \frac{1}{z} | \geq 2$ 恒成立；③复数 $z = {(1 - i)}^{3}$ 的实部和虚部都是－2；④如果 $| a + 2 i | < | - 2 + i |$ ，则实数 $a$ 的取值范围是 $- 1 < a < 1$ ；⑤复数 $z = 1 - i$ ，则 $\frac{1}{z} + z = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ ；其中正确的命题的序号是.

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20. 若 $2 + i$ ( $i$ 是虚数单位)是关于x的实系数方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，则 $m + n$ 等于.

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21. 已知复数 $z = \lg (m^{2} - 2 m) + (m^{2} + 2 m - 3) i$ 若复数 $z$ 是实数，则实数 $m =$ ；若复数 $z$ 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为.

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四、解答题

22.

(1)、已知 $z \in C$ ，解关于z的方程 $(z - 3 i) \cdot \bar{z} = 1 + 3 i$ ；

(2)、已知 $3 + 2 i$ 是关于x的方程 $2 x^{2} + a x + b = 0$ 在复数集内的一个根，求实数a，b的值.

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23. 设实部为正数的复数 $z$ ，满足 $| z | = \sqrt{10}$ ，且复数 $(2 + i) z$ 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、若 $\bar{z} + m^{2} (- 1 + i) + 4 m i (m \in R)$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值.

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24. 设 $z_{1}$ 是虚数， $z_{2} = z_{1} + \frac{1}{z_{1}}$ 是实数，且 $- 1 \leq z_{2} \leq 1$ .

(1)、求 $| z_{1} |$ 的值以及 $z_{1}$ 的实部的取值范围；

(2)、若 $ω = \frac{1 - z_{1}}{1 + z_{1}}$ ，求证 $ω$ 为纯虚数；

(3)、在（2）的条件下，求 $z_{2} - ω^{2}$ 的最小值.

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25. 已知复数 $z_{1} = m - 2 i$ ，复数 $z_{2} = 1 - n i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，m,n为实数．

(1)、若 $n = 1$ ， $z_{1}$ 为纯虚数，求 $| z_{1} + z_{2} |$ 的值；

(2)、若 $z_{1} = {({\bar{z}}_{2})}^{2}$ ，求 $m, n$ 的值．

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高中数学人教A版（2019）必修二 第七章 复数 单元测试

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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