浙江省宁波市北仑区2021届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $3 x = 7 y (x y \neq 0)$ ，则下列比例式成立的是（）

A、 $\frac{x}{y} = \frac{3}{7}$ B、 $\frac{x}{y} = \frac{7}{3}$ C、 $\frac{x}{3} = \frac{y}{7}$ D、 $\frac{x}{x + y} = \frac{3}{10}$

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2. 如图四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转 $72^{°}$ 后，能与原图形完全重合的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. “小明过学校门口的马路遇到红灯”这个事件是（）

A、确定事件 B、不确定事件 C、不可能事件 D、必然事件

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4. 正十边形的每个内角都是（）

A、 $36 °$ B、 $72 °$ C、 $108 °$ D、 $144 °$

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5. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °, A B = 5, B C = 12$ ，则 $\sin C$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{119}}{12}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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6. 若 $⊙ O$ 的半径 $r = 6$ ，点O到直线 $l$ 的距离为3，下列图中位置关系正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 二次函数 $y = x^{2} - 1$ 经过适当变换之后得到新的二次函数 $y = x^{2} - 6 x + 13$ ，则这个变换为（）

A、向上5个单位，向右3个单位 B、向下5个单位，向右3个单位 C、向上5个单位，向左3个单位 D、向下5个单位，向左3个单位

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8. 如图， $⊙ A$ 过点 $O (0 ， 0) ， B (2 \sqrt{3} ， 0) ， D (0 ， 2)$ ，点C是 $⊙ A$ 上的一点，连接 $C O ， C D$ ，则 $∠ D C O$ 的度数为（）

A、 $22.5 °$ B、 $30 °$ C、 $37.5 °$ D、 $45 °$

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9. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与对称轴直线 $x = m$ 交于点A，与 $x ， y$ 轴交于 $B ， C ， D$ 三点，下列命题正确的是（）
① $a b c > 0$ ；②若 $O D = O C$ ，则 $a c + b + 1 = 0$ ；③对于任意 $x_{0} (x_{0} \neq m)$ ，始终有 $a x_{0}^{2} + b x_{0} > a m^{2} + b m$ ；④若B的坐标为 $(- m ， 0)$ ，则C的坐标为 $(3 m ， 0)$ ．

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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10. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图的方式放置在最大正三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

A、直角三角形的面积 B、最大正三角形的面积 C、较小两个正三角形重叠部分的面积 D、最大正三角形与直角三角形的面积和

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二、填空题

11. 在半径为2的圆中，圆心角为 $120 °$ 的扇形面积为.

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ A = 80 °$ ， $∠ C =$ $°$ .

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13. 在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同100个球，某小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色，再把它放回，不断重复，下表是实验中记下的一组数据：

摸球的次数n	100	150	200	500	800	1000
摸到红球的次数m	79	115	152	385	598	751
摸到红球的频率 $\frac{m}{n}$	0.790	0.767	0.760	0.770	0.748	0.751

试估计口袋中红球有个．

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14. 在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若 $a_{1} = 1$ 米， $a_{2} = 10$ 米， $h = 1.8$ 米，则这个学校教学楼的高度为米．

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15. 如图，点B是 $⊙ O$ 的半径 $O A$ 上的中点，过点B作 $O A$ 的垂线交 $⊙ O$ 于点 $C ， D ， E$ 是 $⊙ O$ 上一点， $\overset{⌢}{C E} = \overset{⌢}{C A}$ ，过点C作 $⊙ O$ 的切线l，连接 $O E$ 并延长交直线l于点F．已知 $⊙ O$ 的半径为4，则 $F B$ 为．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = \frac{1}{4} (x - 2) (x - 4)$ 与y轴，x轴相交于 $A ， B ， C$ 三点，D是函数的顶点，M是第四象限内一动点，且 $∠ A M B = 45 °$ ，连接 $M D ， M C$ ，则 $2 M D + M C$ 的最小值是．

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三、解答题

17. “青年北仑”建设是北仑建设的一大亮点，现将质地大小完全相同，上面标有“青”“年”“北”“仑”字样的四个彩球放入同一个袋子．

(1)、小慧在袋子中随机摸出一个彩球，记下字样后放回，搅匀，再摸出一个彩球，请用列表或画树状图的方法，写出所有的可能；

(2)、在（1）的条件下能拼出“北仑”（不分先后）的概率是多少？

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18. 图1、图2均是 $8 \times 8$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 $A B ， C D ， M N$ 的端点均在格点上，回答下列问题：

(1)、在图1中， $\tan ∠ D A B =$ ， $\frac{△ A B E 的周长}{△ C D E 的周长} =$ ；

(2)、在图2中请用一把无刻度的尺子，画出线段 $M N$ 三等分点 $P ， Q$ ．（保留作图痕迹）

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19. 已知抛物线 $y = a {(x - 4)}^{2} + 2$ 经过点 $(2, - 2)$ ．

(1)、求a的值；

(2)、若点 $A (m, y_{1}), B (n, y_{2}) (m < n < 4)$ 都在该抛物线上，试比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小．

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20. 如图，富邦城即将建造一个大型摩天轮，工程师介绍若你站在距离摩天轮40米处（A点），以 $29^{°}$ 的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（C点），以 $63 °$ 的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方（D点）．（人的身高忽略不计）（参考数据： $\sin 29 ° \approx 0.48 ， \cos 29 ° \approx 0.87 ， \tan 29 ° \approx 0.55 ， \sin 63 ° \approx 0.89 ， \cos 63 ° \approx 0.45 ， \tan 63 ° \approx 1.96$ ）

(1)、求摩天轮的底部（C点）到地面（B点）的距离；（精确到个位）

(2)、求摩天轮的圆轮直径（即 $C D$ ）．（精确到个位）

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21. 如图，已知 $C D$ 是 $Rt △ A B C$ 斜边 $A B$ 上的中线，过点D作 $A C$ 的平行线，过点C作 $C D$ 的垂线，两线相交于点E．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ D E C$ ；

(2)、若 $C D = 4 ， C E = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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22. 科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如表）：

温度 $x / ° C$	……	$- 4$	$- 2$	0	2	4	4.5	……
植物每天高度增长量 $y / m m$	……	41	49	49	41	25	19.75	……

由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 $y$ 是温度 $x$ 的函数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种．

(1)、请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；

(2)、如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过

250 m m

，那么实验室的温度

x

应该在哪个范围内选择？请说明理由．

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $\begin{array}{l} C \end{array}$ 为 $⊙ O$ 上一点，过点C的直线交 $A B$ 的延长线于点 $P ， A C$ 平分 $∠ D A B$ ，过点A作 $A D ⊥ P C$ 于点 $D ， A D$ 与 $⊙ O$ 交于点E．

(1)、求证： $P C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 9 ， \sin ∠ C A B = \frac{1}{3}$ ，
①求 $A D$ 的长；

②求 $A E$ 的长．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的半径为1， $A ， B$ 为 $⊙ O$ 外两点， $A B = \sqrt{3}$ ．给出如下定义：平移线段 $A B$ ，得到 $⊙ O$ 的弦 $A^{'} B^{'}$ （ $A^{'} ， B^{'}$ 分别为点 $A ， B$ 的对应点），线段 $A A^{'}$ 长度的最小值称为线段 $A B$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”．

(1)、如图，平移线段 $A B$ 得到 $⊙ O$ 的长度为 $\sqrt{3}$ 的弦 $P_{1} P_{2}$ 和 $P_{3} P_{4}$ ，则这两条弦的位置关系是；在点 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3} ， P_{4}$ 中，连接点A与点的线段的长度等于线段 $A B$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”；

(2)、若点A在直线 $y = x + 2$ 上；
①若点B也在直线 $y = x + 2$ 上，记线段 $A B$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”为 $d_{1}$ ，求 $d_{1}$ 的最小值；

②若点B在抛物线 $y = x^{2} + 4$ 上且 $A B / / y$ 轴，是否存在这样的点B满足题意，若存在，求出“平移距离”为 $d_{2}$ 的最小值，若不存在，说明理由；

(3)、若点A的坐标为 $(2 \sqrt{3} ， 2)$ ，记线段 $A B$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”为 $d_{3}$ ，则 $d_{3}$ 的取值范围为，当 $d_{3}$ 取最小值时点B的坐标为．

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