江苏省无锡市梁溪区2021届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如果一个一元二次方程的根是x₁＝x₂＝2，那么这个方程可以是（）

A、x²＝4 B、x²＋4＝0 C、x²＋4x＋4＝0 D、x²－4x＋4＝0

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2. cos45°的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 若二次函数y＝2x²－ax－a＋1的图象的对称轴是y轴，则a的值是（）

A、0 B、1 C、－1 D、2

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4. 已知⊙O的半径为4，点A和圆心O的距离为3，则点A与⊙O的位置关系是

A、点A在⊙O内 B、点A在⊙O上 C、点A在⊙O外 D、不能确定

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5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为（）

A、25° B、27.5° C、35° D、45°

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6. 点B把线段AC分成两部分，如果 $\frac{B C}{A B} = \frac{A B}{A C}$ ＝k，那么k的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ ＋1 D、 $\sqrt{5}$ －1

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7. 在Rt $△$ ABC中，∠C＝90º，下列关系式中错误的是（）

A、BC＝AB•sinA B、BC＝AC•tanA C、AC＝BC•tanB D、AC＝AB•cosB

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8. 如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F.下列各式：① $\frac{A E}{A B}$ ＝ $\frac{A F}{B C}$ ；② $\frac{A E}{A B}$ ＝ $\frac{A F}{D F}$ ；③ $\frac{A E}{A B}$ ＝ $\frac{F E}{F C}$ ；④ $\frac{A E}{B E}$ ＝ $\frac{A F}{B C}$ .其中成立的是（）

A、③ B、③④ C、②③④ D、①②③④

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9. 如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB＝4，CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（）

A、2 $\sqrt{2}$ ＋2 B、2 $\sqrt{2}$ ＋4 C、2 $\sqrt{5}$ D、2 $\sqrt{5}$ ＋2

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10. 已知当 $－ 1 < x < 0$ 时，二次函数 $y = x^{2} - 4 k x + 3$ 的值恒大于1，则k的取值范围是（）

A、k≥ $- \frac{3}{4}$ B、－ $\frac{3}{4}$ ≤k≤－ $\frac{1}{2}$ C、－ $\frac{1}{2}$ ＜k＜0 D、－ $\frac{3}{4}$ ≤k＜0

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二、填空题

11. 一元二次方程x²－3x－1＝0的两根是x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂＝．

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12. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为．

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13. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a + c + e}{b + d + f} =$ .

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14. 把函数y＝x²＋3的图象向下平移1个单位长度得到的图象对应的函数关系式为.

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15. 如图，△ABC中，DE∥BC，DE=2，AD=4，DB=6，则BC的长是.

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16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积是．

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17. 在 $△$ ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，D为 $△$ ABC形外一点，且AD＝AC，则∠BDC＝°.

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18. 如图，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝2 $\sqrt{3}$ ，PC＝2，则 $△$ ABC的边长为.

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三、解答题

19. 解方程：

(1)、 $x^{2} + 6 x + 1 = 0$ ；

(2)、 ${(x - 3)}^{2} = 2 (x - 3)$ .

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20. 已知关于x的方程：（k－2）x²－kx＋2＝0.

(1)、若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；

(2)、证明：无论k取何值，该方程总有实数根.

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21. 如图，小明从P处出发，沿北偏东60°方向以70 m/min的速度步行6min后到达A处，接着向正南方向步行一段时间后到达终点B处，在B处观测到出发时所在的P处在北偏西37°方向上.求小明步行的总路程（精确到1m）.参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75， $\sqrt{2}$ ≈1.4， $\sqrt{3}$ ≈1.7.

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22. 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．

(1)、求证：CD为⊙O的切线；

(2)、若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

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23. 如图，以P(0，3)为圆心，6为半径的⊙P交x轴于点A、B，交y轴于点C、D，连接BP并延长交⊙P于点E，连接DE交x轴于点F.

(1)、求∠CDE的度数；

(2)、求 $△$ BEF的面积.

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24. 如图，在 $△$ ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC上一点，BD＝2，E、F分别是AB、AC边上的动点，且∠EDF＝∠B.

(1)、找出图中与 $△$ BDE相似的三角形，并说明理由；

(2)、是否存在这样的位置，使DE⊥EF？若存在，求出BE的长；若不存在，说明理由.

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25. 某网店以每件100元的价格购进一批休闲服进行销售，当每件售价为280元时，日销量为50件.网店准备采取降价方式进行促销，经市场调查发现：每件休闲服的售价每降低20元，则日销量增加10件.

(1)、网店欲每日获得9600元利润，且能够尽快减少库存，则每件休闲服售价应定为多少元？

(2)、小张看到该网店的促销方式后，认为“当网店日利润最大时，每日的销售额也最大”，你觉得小张的想法对吗？试说明理由.

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26. 如图，已知二次函数y＝ax²－8ax＋12（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，M为顶点，P在对称轴上.

(1)、当四边形ABPC是平行四边形时，求这个二次函数的表达式；

(2)、当点P、M关于x轴对称，且 $△$ OMP的面积为8时，求这个二次函数的表达式.

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27. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一动点.将△ABE沿AE翻折后得到 $△$ AFE，延长AF交CD所在直线于点G，设BE＝x.

(1)、若点G在CD边上，求x的取值范围；

(2)、若x＝5，求CG的长.

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28. 如图1，已知二次函数y=-x²+1的图象交x轴于点A、B，P是函数图象上一动点，直线l经过点(0，2)且垂直于y轴.

(1)、求AB的长；

(2)、若有一点Q(0， $\frac{3}{4}$ )，设P到直线l的距离为d，PQ=t，试探究d，t之间的数量关系；

(3)、如图2，若点P在第四象限，作射线PA，PB，分别交直线l于点M、N.设M，N两点的横坐标分别为m、n，试探究m，n之间的数量关系.

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