福建省漳州市2021届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $x : y = 3 : 2$ ，则 $\frac{x - y}{y}$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、2

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2. 下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

A、平行四边形 B、正方形 C、矩形 D、菱形

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3. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 配方后可变形为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 1)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 1)}^{2} = 7$

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4. 若反比例函数 $y = \frac{1 - m}{x}$ 的图像在第一、第三象限，则 $m$ 可能取的一个值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（　　）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 若点 $(- 2, y_{1}), (- 3, y_{2}), (2, y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 图象上，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$

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7. 如图，某商店营业大厅自动扶梯 $A B$ 的坡度为 $i = 1 ： 2.5$ ，过点B作 $B C ⊥ A C$ ，垂足为点C.若大厅水平距离 $A C$ 的长为 $7.5 m$ ，则两层之间的高度 $B C$ 为（）

A、 $3 m$ B、 $4 m$ C、 $5 m$ D、 $6 m$

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8. 如图，以点O为位似中心，把 $△ A B C$ 放大2倍得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则以下说法中错误的是（）

A、 $A B / / A^{'} B^{'}$ B、 $△ A B C ∽ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ C、 $A O ： A A^{'} = 1 ： 2$ D、点 $C ， O ， C^{'}$ 三点在同一直线上

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9. 已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如表所示，若该二次函数图象向左平移后通过原点，则应平移（）

x

…

-1

0

1

2

…

y

…

0

3

4

3

…

A、1个单位 B、2个单位 C、3个单位 D、4个单位

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10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的对角线 $B D / / x$ 轴，若 $A (1 ， 0) ， D (0 ， 2)$ ，则点C的坐标为（）

A、 $(4 ， 3)$ B、 $(4 ， 4)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(2.5 ， 4)$

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二、填空题

11. 若sinA= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则锐角∠A=°.

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12. 若正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 的长为4，则该正方形的面积为.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D ， E$ 分别为 $A B ， A C$ 边上的中点，则 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 的周长的比值是.

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14. 若关于x的方程 $x^{2} + m x - n = 0$ 有一个根是3，则 $3 m - n$ 的值是.

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15. 从 $- 1，2 ， 3 ， - 6$ 这四个数中任取两数，积为6的概率是.

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16. 如图，点A在双曲线 $y = - \frac{2}{x} (x < 0)$ 上，连接 $O A$ ，作 $O B ⊥ O A$ ，交双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 于点B，若 $O B = 2 O A$ ，则k的值为.

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} + 2 x = 0$ .

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，过点B作 $B E ⊥ A D$ ，垂足为E，过点C作 $C F ⊥ A B$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $F ， B E = C F$ .求证：四边形 $A B C D$ 是菱形.

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19. 我国古代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深儿何？”它的大意是：如图，已知四边形 $B C D E$ 是矩形， $C D = 5$ 尺， $A B = 5$ 尺， $B F = 0.4$ 尺，求井深 $B C$ 为多少尺？

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20. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ .

(1)、求作点D，使四边形 $A B C D$ 是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，连接 $B D$ ，若 $A B = 3 ， \tan ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，求 $B D$ 的长.

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21. 新冠疫情期间，某校有“录播”和“直播”两种教学方式供学生自主选择其中一种进行居家线上学习.为了了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）.

	$0 ~ 20 %$	$20 % ~ 50 %$	$50 % ~ 80 %$	$80 % ~ 100 %$
录播	5	18	14	13
直播	2	15	21	12

(1)、从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于

50 %

的概率；

(2)、若该校共有1200名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为

3 ： 5

，试估计选择“录播”或“直播”参与度均在

20 %

以下的共有多少人？

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22. 阅读下面材料，并完成问题.
任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A的一半，则称矩形 $A, B$ 是“兄弟矩形”.

探究：当矩形A的边长分别为7和1时，是否存在A的“兄弟矩形”B？

小亮同学是这样探究的：

设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 ${\begin{array}{l} x + y = 4 ① \\ x y = \frac{7}{2} ② \end{array}$

由①，得 $y = 4 - x$ ，③

把③代入②，得 $x (4 - x) = \frac{7}{2}$ ，

整理，得 $2 x^{2} - 8 x + 7 = 0$ .

$∵ b^{2} - 4 a c = 64 - 56 = 8 > 0$ ，

$∴ A$ 的“兄弟矩形”B存在.

(1)、若已知矩形A的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A的“兄弟矩形”B是否存在？

(2)、若矩形A的边长为m和n，当A的“兄弟矩形”B存在时，求 $m, n$ 应满足的条件.

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23. 平安路上，多“盔”有你.在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶.商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶.

(1)、若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？

(2)、商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且 $1 ⩽ m < 5$ ），帮助做“交通安全”宣传.捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值.

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24. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 °$ ，点D在边 $B C$ 上，且不与点 $B ， C$ 重合，以 $A D$ 为边作正方形 $A D E F$ ，连接 $C F$ .

(1)、如图1，求证： $C F ⊥ B C$ ；

(2)、若直线 $D E$ 与直线 $C F$ 相交于点 $P ， A C = 8 \sqrt{2} ， C D = a$ ，求 $C P$ 的长.（用只含a的式子表示）

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25. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 3, n), B (2, n)$ 两点.

(1)、求b的值；

(2)、当 $- 1 < x < 1$ 时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；

(3)、若方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两实根 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $3 ⩽ x_{2} - x_{1} < 9$ ，且 $p = x_{1}^{2} - 3 x_{2}^{2}$ ，求p的最大值.

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x	…	-1	0	1	2	…
y	…	0	3	4	3	…