湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 曲线 $y = x^{3} - 2 x + 1$ ，在 $x = 1$ 处的切线与直线 $y = a x + 1$ 平行，则 $a$ 的值为（）

A、0 B、1 C、-1 D、2

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2. 在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为（）

A、 $C_{3}^{2} C_{97}^{3}$ B、 $C_{3}^{2} C_{97}^{3} + C_{3}^{3} C_{97}^{2}$ C、 $C_{100}^{5} - C_{3}^{1} C_{97}^{4}$ D、 $C_{100}^{5} - C_{97}^{5}$

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3. 已知函数 $f (x) = \sin x + 2 x f' (\frac{π}{3}),$ 则 $f' (\frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 如果函数 $y = f (x)$ 的图象如下图，那么导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 4名男生和4名女生排成一排，女生不排在两端，则不同的排法种数为（）

A、 $A_{4}^{2} \cdot A_{4}^{4}$ B、 $A_{4}^{4} \cdot A_{4}^{4}$ C、 $A_{4}^{2} \cdot A_{6}^{6}$ D、 $A_{8}^{8}$

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6. 在曲线 $y = x^{2}$ 上切线的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的点是（）

A、（0，0） B、（2，4） C、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{16})$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{4})$

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7. 设 ${(x - 2)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ ，那么 $\frac{a_{0} + a_{2} + a_{4}}{a_{1} + a_{3} + a_{5}}$ 的值为（）

A、 $- \frac{122}{121}$ B、 $- \frac{61}{60}$ C、 $- \frac{244}{241}$ D、-1

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8. 某人射击7枪，击中5枪，问击中和未击中的不同顺序情况有（）种.

A、21 B、20 C、19 D、16

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9. 若函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 在[0，1]上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[e ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[e + 1 ， + \infty)$ D、 $(e - 1 ， + \infty)$

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10. 如图，一环形花坛分成 $A ， B ， C ， D$ 四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）

A、12 B、24 C、18 D、6

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11. 关于函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$ ．下列说法中：①它的极大值为 $\frac{28}{3}$ ，极小值为 $- \frac{4}{3}$ ；②当 $x \in [3 ， 4]$ 时，它的最大值为 $\frac{28}{3}$ ，最小值为 $- \frac{4}{3}$ ；③它的单调减区间为 $[- 2 ， 2]$ ；④它在点 $(0 ， 4)$ 处的切线方程为 $y = - 4 x + 4$ ，其中正确的有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x + 2$ 的极大值为4，若函数 $g (x) = f (x) + m x$ 在 $(- 3, a - 1)$ 上的极小值不大于 $m - 1$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 9, - \frac{15}{4})$ B、 $(- 9, - \frac{15}{4}]$ C、 $(- \frac{15}{4}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 9)$

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二、填空题

13. 已知 $A_{2 n}^{3} = 10 A_{n}^{3}$ ，那么 $n =$ ．

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14. 6个人排成一排，甲、乙两人中间恰有一人的排法有种.

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15. 若函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 a x$ 在 $[\frac{2}{3} ， + \infty)$ 上存在单调增区间，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 若关于 $x$ 的不等式 ${\begin{cases} a = \sqrt{5} \\ b = 1 \end{cases}$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是。

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三、解答题

17. 某医院有内科医生5名，外科医生4名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，

(1)、一共有多少种选法？

(2)、其中某内科医生甲必须参加，某外科医生乙因故不能参加，有几种选法？

(3)、内科医生和外科医生都要有人参加，有几种选法？

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18. 已知函数 $f (x) = (1 - 2 x) (x^{2} - 2)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若直线 $y = 4 x + b$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一条切线，求 $b$ 的值．

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19. 在二项式 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，

(1)、若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项．

(2)、若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + (a^{2} - 1) x + b (a ， b \in R)$ ，其图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $x + y - 3 = 0$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间，并求出 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 4]$ 上的最大值.

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21. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = (- x^{2} + a x) e^{x}$ （ $x \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数）.
（Ⅰ）当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = k x^{3} + 3 (k - 1) x^{2} - k^{2} + 1$ 在 $x = 0 ， x = 4$ 处取得极值.

(1)、求常数k的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(3)、设 $g (x) = f (x) + c$ ，且 $\forall x \in [- 1 ， 2]$ ， $g (x)$ $\geq 2 c + 1$ 恒成立，求 $c$ 的取值范围.

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