湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. $z = \frac{1}{1 - i}$ 的共轭复数是（）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ C、1-i D、1＋i

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2. 欧拉公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （ $i$ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， $m = \frac{f (x)}{x} = g (x)$ 表示的复数在复平面中位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4. 从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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5. 习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察时，首次提出“精准扶贫”概念，“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略.为配合国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出6名农业技术专家（4男2女）分成两组，到该省两个贫困县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多4人，则不同的选派方案共有（）种

A、48 B、68 C、38 D、34

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6. 函数 $f (x) = \frac{e^{2 x}}{x}$ 的导函数为（）

A、 $f^{'} (x) = 2 e^{2 x}$ B、 $f^{'} (x) = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{x^{2}}$ C、 $f^{'} (x) = \frac{2 e^{2 x}}{x}$ D、 $f^{'} (x) = \frac{(x - 1) e^{2 x}}{x^{2}}$

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7. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）

A、12种 B、18种 C、24种 D、48种

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8. 已知函数 $f (x) = 2 x - \ln | x |$ ，则 $f (x)$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是（）

A、 $\frac{16 π}{9}$ B、 $\frac{8 π}{9}$ C、 $\frac{16 π}{27}$ D、 $\frac{8 π}{27}$

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10. 函数 $f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，下列数值排序正确是（）

A、 $0 < f^{'} (2) < f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ B、 $0 < f^{'} (3) < f (3) - f (2) < f^{'} (2)$ C、 $0 < f^{'} (3) < f^{'} (2) < f (3) - f (2)$ D、 $0 < f (3) - f (2) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$

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11. f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f $^{'}$ （x）g（x）+f（x）g $^{'}$ （x）＜0且f（﹣1）＝0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）

A、（﹣1，0）∪（1，+∞） B、（﹣1，0）∪（0，1） C、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D、（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

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12. 已知曲线 $f (x) = x^{2} + m x \ln x$ 与曲线 $g (x) = {(\ln x)}^{2}$ 有三个交点，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e^{2}} - e^{2}]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{e^{2}} - e^{2}]$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{e} - e)$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{e} - e]$

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二、填空题

13. 已知函数y＝ $f (x)$ 的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是 $y = \frac{1}{2} x ＋ 2$ ，则 $f (1) ＋ f' (1)$ ＝.

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14. 2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为.

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15. $(\frac{1}{x} - 1) \cdot {(\sqrt{x} + 1)}^{5}$ 的展开式中， $x$ 的系数为.

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16. 下列四个命题（ $e$ 为自然对数的底数）
① $\ln 5 < \sqrt{5} \ln 2$ ；② $\ln π > \sqrt{\frac{π}{e}}$ ；③ $2^{\sqrt{11}} < 11$ ；④ $3 e \ln 2 > 4 \sqrt{2}$ .

其中真命题序号为.

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三、解答题

17. 已知复数 $z = (2 + i) m + \frac{2 i}{i - 1}$ （其中 $i$ 是虚数单位， $m \in R$ ）.

(1)、若复数 $z$ 是纯虚数，求 $m$ 的值；

(2)、求 $| z - 1 |$ 的取值范围.

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18. 某医院有内科医生8名，外科医生6名，现选派4名参加抗击新冠肺炎疫情医疗队，其中

(1)、甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？

(2)、队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

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19. 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.

(1)、求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.

(2)、在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列.

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20. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + a$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴有三个交点，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 1$ ，（ $a > 0$ ）， $g (x) = x^{3} + b x$

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值

(2)、当 $a^{2} = 4 b$ 时，求函数 $f (x) + g (x)$ 的单调区间，并求其在区间（-∞，-1]上的最大值．

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22. 若函数 $f (x) = a x^{2} + x - x \ln x$ 恰有两个不同极值点 $x_{1} ， x_{2}$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ .

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