湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件（）
①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④至少有1个黄球与都是白球．

其中互斥而不对立的事件共有（）

A、0组 B、1组 C、2组 D、3组

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2. 甲、乙两人做游戏，下列游戏不公平的是（）

A、抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜 B、甲、乙两人各写一个数字1或2，如果两人写的数字相同甲获胜，否则乙获胜 C、从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲获胜，扑克牌是黑色的则乙获胜 D、同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲获胜，两枚都正面向上则乙获胜

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3. 下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）

A、掷5次硬币正面向上的次数M B、从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y C、某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T D、将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X

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4. 给出以下四个说法：
①回归直线可以不过样本的中心点；②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数 $R^{2}$ 的值越大，说明拟合的效果越好；③在回归直线方程 $\hat{y} = 0.2 x + 12$ 中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 $\hat{y}$ 平均增加0.2个单位；④对分类变量X与Y，若它们的随机变量 $K^{2}$ 的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大．

其中正确的说法是（）

A、①④ B、②③ C、①③ D、②③④

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5. 独立性检验中，为了调查变量X与变量Y的关系，经过计算得到 $P (K^{2} \geq 6.635) = 0.01$ ，表示的意义是（）

A、有99%的把握认为变量X与变量Y没有关系 B、有1%的把握认为变量X与变量Y有关系 C、有0.01%的把握认为变量X与变量Y有关系 D、有99%的把握认为变量X与变量Y有关系

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6. 若 $A_{n}^{3} = 12 C_{n}^{2}$ ，则 $n$ 等于（）

A、3或4 B、4 C、5或6 D、8

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7. 已知 $ξ ~ B (4, \frac{1}{3})$ ，并且 $η = 2 ξ + 3$ ，则方差 $D η =$ （）

A、 $\frac{32}{9}$ B、 $\frac{8}{9}$ C、 $\frac{43}{9}$ D、 $\frac{59}{9}$

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8. 甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“三局两胜”，即以先赢两局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（）

A、0.36 B、0.504 C、0.648 D、0.732

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9. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则 $P (X < 2)$ 等于（）

A、 $\frac{7}{15}$ B、 $\frac{8}{15}$ C、 $\frac{13}{15}$ D、 $\frac{14}{15}$

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10. $(x + 1) {(x - 2)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为（）

A、-80 B、-40 C、40 D、80

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11. 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} \cdot 10} e^{- \frac{{(x - 80)}^{2}}{200}} (x \in R)$ ，则下列命题中不正确的是（）

A、分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 B、该市这次考试的数学平均成绩 $μ$ 为80分 C、该市这次考试的数学成绩的标准差 $σ$ 为10 D、可以简记为：数学成绩服从正态分布 $N (80 ， 10)$

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12. 从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

13. 若离散型随机变量X的分布列如下，则 $a =$ ．

$X$

0

1

$P$

$\frac{a}{3}$

$\frac{5 - a^{2}}{3}$

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14. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为.

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15. 一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件 $A$ ，“第2次拿出的是白球”为事件 $B$ ，则 $P (B | A)$ 是

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16. 已知 ${(1 + 2 x)}^{6}$ 展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则 $b - 12 a =$ ．

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三、解答题

17. 某校书法兴趣组有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：

一年级

二年级

三年级

男同学

A

B

C

女同学

X

Y

Z

现从这6名同学中随机选出2人参加书法比赛 $($ 每人被选到的可能性相同 $)$ ．

(1)、用表中字母列举出所有可能的结果；

(2)、设M为事件“选出的2人来自不同年级且性别相同”，求事件M发生的概率．

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18. 已知 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{n}$ $(n \in N^{*})$ 的展开式中前三项的系数成等差数列.

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中的有理项.

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19. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表：

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
温差x（℃）	10	11	13	12	8
发芽数y（颗）	23	25	30	26	16

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程

\hat{y} =

bx+a；

(2)、若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得到的线性回归方程是否可靠？

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20. 某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中，随机发放了120分问卷．

对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：

	做不到科学用眼	能做到科学用眼	合计
男	45	$x$	$45 + x$
女	$3 x$	15	$3 x + 15$
合计	$45 + 3 x$	$15 + x$	100

附：独立性检验统计量 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

独立性检验临界值表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
$k_{0}$	1.323	2.072	2.706	3.840	5.024

(1)、求上表中的x

(2)、若在犯错误的概率不超过P的前提下认为良好“用眼习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？

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21. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次击鼓出现音乐相互独立.

(1)、设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；

(2)、玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？

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22. 一批用于手电筒的电池，每节电池的寿命服从正态分布 $N (36, 4)$ （寿命单位：小时）.考虑到生产成本，电池使用寿命在 $(30, 38)$ 内是合格产品.

(1)、求一节电池是合格产品的概率（结果四舍五入，保留一位小数）；

(2)、根据（1）中的数据结果，若质检部门检查4节电池，记抽查电池合格的数量为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列、数学期望及方差.
附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ .

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$X$	0	1
$P$	$\frac{a}{3}$	$\frac{5 - a^{2}}{3}$

	一年级	二年级	三年级
男同学	A	B	C
女同学	X	Y	Z