河南省南阳市2019-2020学年高二下学期理数期中质量评估试卷

试卷更新日期：2021-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $ω = \frac{1 + \sqrt{3} i}{2}$ ， $i$ 为虚数单位，则 $ω^{2} - ω + 1$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、 $i$

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2. 下列值等于 $\frac{2}{3}$ 的是（）

A、 $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ B、 $\int_{0}^{1} (x + 2) d x$ C、 $\int_{0}^{1} \frac{2}{3} x d x$ D、 $\int_{0}^{1} 2 x^{2} d x$

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3. 如图是函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f' (x)$ 的图像，则下面判断正确的是（）

A、在区间（-2，1）上 $f (x)$ 是增函数 B、在区间（1，3）上 $f (x)$ 是减函数 C、在区间（4，5）上 $f (x)$ 是增函数 D、当 $x = 4$ 时， $f (x)$ 取极大值

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4. 如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)则在第n个图形中共有（）个顶点.

A、(n+1)(n+2) B、(n+2)(n+3) C、 $n^{2}$ D、n

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5. 已知函数f(x)＝x³＋bx²＋cx的图象如图所示，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$ （）．

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足关系式 $f (x) = x^{2} + 3 x f^{'} (2) + \ln x$ ，则 $f^{'} (2)$ 的值等于（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{9}{4}$ D、 $- \frac{9}{4}$

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7. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之和为 $S_{n}$ ，则一定有 $S_{2 n - 1} = (2 n - 1) a_{n}$ 成立．若等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，类比等差数列的性质，则有（）

A、 $T_{2 n - 1} = (2 n - 1) + b_{n}$ B、 $T_{2 n - 1} = (2 n - 1) b_{n}$ C、 $T_{2 n - 1} = (2 n - 1) b_{n}$ D、 $T_{2 n - 1} = b_{n}^{2 n - 1}$

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8. 已知是函数 $x = 2$ 就函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + 2$ 的极小值点，那么函数 $f (x)$ 的极大值为（）

A、-2 B、6 C、17 D、18

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9. 由曲线y＝x²和曲线y $= \sqrt{x}$ 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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10. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 \ln x$ ，在区间 $[m - 1 ， m + 1]$ 上单调递减，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 2$ B、 $m \geq 4$ C、 $1 < m \leq 2$ D、 $0 < m \leq 3$

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11. 已知复数 $z = x + y i$ ， $x \in R$ ， $y \in R$ ，满足 $| z + 1 | + | z - 1 | = 4$ ，则点 $(x ， y)$ 的轨迹是（）

A、线段 B、圆 C、双曲线 D、椭圆

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12. 已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，满足 $x^{2} f^{'} (x) + 2 x f (x) = \frac{1}{x}$ 且 $f (1) = 1$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{e}{2}$ B、0 C、 $\sqrt{e}$ D、 $2 e$

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二、填空题

13. 设 $a \in R, a^{2} - a - 2 + (a + 1) i$ 为纯虚数( $i$ 为虚数单位),则 $a =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = x (x - 1) (x - 2) (x - 3)$ ，则 $f^{'} (0) =$ ．

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15. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，满足 $f (1) = 1$ ，且对任意 $x \in R$ 都有 $f^{'} (x) < \frac{1}{2}$ ，则不等式 $f (\lg x) > \frac{\lg x + 1}{2}$ 的解集为．

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16. 分形几何学是数学家伯努瓦．曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第 $n$ 行黑圈的个数为 $a_{n}$ ，则 $a_{7} =$ ．

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三、解答题

17. 设 $a ， b ， c$ 均为正数，且 $a + b + c = 1$ ．
证明：

(1)、 $a b + b c + a c \leq \frac{1}{3}$ ；

(2)、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{1}{3}$

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} - 1$

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、设 $m > 0$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[m ， 2 m]$ 上的最大值．

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19. 用数学归纳法证明： ${(\cos θ + i \sin θ)}^{n} = \cos n θ + i \sin n θ$ ， $i$ 为虚数单位， $θ \in R$ ， $n \in N$ ，且 $n \geq 2$ ．

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20. 某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形 $A B C$ 绕底边 $B C$ 上的高所在直线 $A O$ 旋转 $180 °$ 而成，如图2.已知圆O的半径为 $10 cm$ ，设 $∠ B A O = θ$ ， $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，圆锥的侧面积为 $S {cm}^{2}$ （S圆锥的侧面积 $= π R I$ （R-底面圆半径，I-母线长））

(1)、求S关于 $θ$ 的函数关系式；

(2)、为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰 $A B$ 的长度

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， - 1)$ 处的切线方程；

(2)、证明：当 $a \geq 1$ 时， $f (x) + e \geq 0$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (1 + m x) ， g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + m x$

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $F (x) = f (x) - x$ 的最大值；

(2)、当 $0 < m < 1$ 时，判断函数 $G (x) = f (x) - g (x)$ 的零点个数．

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