河南省开封市五县联考2019-2020学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{- 1 + 3 i}{- i}$ ，则 $| z - \bar{z} | =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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2. 定积分 $\int_{- 1}^{1} (4 x - x^{2}) d x =$ （）

A、0 B、-1 C、 $- \frac{2}{3}$ D、-2

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3. 在用反证法证明“已知 $a ， b ， c \in R$ ，且 $a + b + c > 3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 中至少有一个大于 $1$ ”时，假设应为（）

A、 $a$ ， $b$ ， $c$ 中至多有一个大于 $1$ B、 $a$ ， $b$ ， $c$ 全都小于 $1$ C、 $a$ ， $b$ ， $c$ 中至少有两个大于 $1$ D、 $a$ ， $b$ ， $c$ 均不大于 $1$

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4. 以下成语的语境为合情推理的是（）

A、坐井观天 B、管中窥豹 C、开门见山 D、一叶障目

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5. 已知曲线 $y = \frac{2 x}{x + m}$ 过点 $(- 3 ， 3)$ ，则该曲线在 $x = 1$ 处的切线的方程是（）

A、 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ B、 $y = \frac{3}{2} x$ C、 $y = x$ D、 $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

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6. 某地区一次联考的数学成绩 $X$ 近似地服从正态分布 $N (85, σ^{2})$ ，已知 $P (X \leq 122) = 0.96$ ，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为（）

A、6 B、4 C、94 D、96

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7. 用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是（）

A、50 B、52 C、54 D、56

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8. 大学生小徐、小杨、小蔡通过招聘会被教育局录取并分配到一中、二中、三中去任教，这三所学校每所学校分配一名老师，具体谁被分配到哪所学校还不清楚.他们三人任教的学科是语文、数学、英语，且每个学科一名老师，现知道：(1)小徐没有被分配到一中；(2)小杨没有被分配到二中；(3)教英语的没有被分配到三中；(4)教语文的被分配到一中；(5)教语文的不是小杨.据此判断到三中任教的人和所任教的学科分别是（）

A、小徐语文 B、小蔡数学 C、小杨数学 D、小蔡语文

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9. 甲同学与本校的另外2名男同学2名女同学一同参加《中国成语大全》的决赛,5人坐成一排,若甲与2名女同学都相邻,则不同坐法的总数为（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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10. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - \frac{2}{3}$ 在区间 $(a ， a + 3)$ 内既存在最大值也存在最小值，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3 ， - 2)$ B、 $(- 3 ， - 1)$ C、 $(- 2 ， - 1)$ D、 $(- 2 ， 0)$

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11. 随机变量 $X$ 的概率分布为 $P (X = n) = \frac{a}{n^{2} + n} (n = 1, 2, 3)$ ，其中 $a$ 是常数，则 $D (a X) =$ （）

A、 $\frac{38}{81}$ B、 $\frac{608}{729}$ C、 $\frac{152}{243}$ D、 $\frac{52}{27}$

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12. 若函数 $f (x) = | x e^{x} | - a x$ 有2个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- e ， - 1)$ B、 $(- \infty ， - e) \cup (0 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知 $- 2 + 3 i - 2 z = {(1 - i)}^{2}$ ，则复数 $z$ 在复平面内表示的点在第象限.

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14. 下表是不完整的

2 \times 2

列联表，其中

3 a = c

，

b = 2 d

，则

a =

	$y_{1}$	$y_{2}$	总计
$x_{1}$	$a$	$b$	55
$x_{2}$	$c$	$d$
总计			120

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15. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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16. 设函数 $f (x) = \frac{x}{3 x + 4} (x > 0)$ ，观察 $f_{1} (x) = f (x) = \frac{x}{3 x + 4}$ ， $f_{2} (x) = f (f_{1} (x)) = \frac{x}{15 x + 16}$ ， $f_{3} (x) = f (f_{2} (x)) = \frac{x}{63 x + 64}$ ， $f_{4} (x) = f (f_{3} (x)) = \frac{x}{255 x + 256}$ ，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当 $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ 时， $f_{n} (x) = f (f_{n - 1} (x)) =$ .

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三、解答题

17. 已知 ${(x + 1)}^{15} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \dots + a_{15} {(x - 1)}^{15}$ .

(1)、求 $\log_{2} a_{0}$ ；

(2)、证明： $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{15} = 3^{15} - 2^{15}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x + a x^{2} + b$ 在 $x = 1$ 处取得极值1.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[e^{- 1} ， e]$ 上的最大值和最小值.

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19. $A$ 市某机构为了调查该市市民对我国申办 $2034$ 年足球世界杯的态度，随机选取了 $140$ 位市民进行调查，调查结果统计如下：

支持
不支持
合计
男性市民

$60$
女性市民

$50$

合计
$70$

$140$
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} > k_{0})$
$0.050$
$0.025$
$0.010$
$0.005$
$0.001$
$k_{0}$
$3.841$
$5.024$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

(1)、根据已知数据，把表格数据填写完整；

(2)、利用（1）完成的表格数据回答下列问题：
（i）能否在犯错误的概率不超过 $0.001$ 的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关；
（ii）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有 $5$ 位退休老人，其中 $2$ 位是教师，现从这 $5$ 位退休老人中随机抽取 $3$ 人，求至多有 $1$ 位老师的概率.

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20. 已知 $x$ 与 $y$ 之间的数据如下表：
$x$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$y$
$2.2$
$3.8$
$5.5$
$6.5$
$7.0$
附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ $= \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2} = 0.651$ .

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、完成下面的残差表：
$x$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$y_{i} - {\hat{y}}_{i}$

并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若 $R^{2} > 0.9$ ，则认为回归效果良好）.

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21. 越野汽车轮胎的质量是根据其正常使用的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的为优质品.现用 $A$ ， $B$ 两种不同型号的汽车轮胎做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示，以上述试验结果中各组的频率作为相应的概率.

(1)、现从大量的 $A$ ， $B$ 两种型号的轮胎中各随机抽取2件产品，求其中至少有3件是优质品的概率；

(2)、通过多年统计发现， $A$ 型轮胎每件产品的利润 $y$ （单位：元）与其使用时间 $t$ （单位：千小时）的关系如下表：

使用时间 $t$ （单位：千小时）

$t < 5$

$5 \leq t < 6$

$t \geq 6$

每件产品的利润 $y$ （单位：元）

-200

200

400

若从大量的 $A$ 型轮胎中随机抽取两件，其利润之和记为 $X$ （单位：元），求 $X$ 的分布列及数学期望.

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22. 已知函数 $f (x) = - m (a x + 1) ln x + x - a$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，若 $f (x) \geq 0$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $m = a = 1$ 时，证明： $(x - 1) f (x) \leq 0$ .

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	支持	不支持	合计
男性市民			$60$
女性市民		$50$
合计	$70$		$140$

$P (K^{2} > k_{0})$	$0.050$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k_{0}$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

使用时间 $t$ （单位：千小时）	$t < 5$	$5 \leq t < 6$	$t \geq 6$
每件产品的利润 $y$ （单位：元）	-200	200	400

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y$	$2.2$	$3.8$	$5.5$	$6.5$	$7.0$

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y_{i} - {\hat{y}}_{i}$