安徽省滁州市定远县重点中学2019-2020学年高二下学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知定义在R上的函数f（x）周期为T（常数），则命题“∀x∈R，f（x）=f（x+T）”的否定是（）

A、∃x∈R，f（x）≠f（x+T） B、∀x∈R，f（x）≠f（x+T） C、∀x∈R，f（x）=f（x+T） D、∃x∈R，f（x）=f（x+T）

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2. 设 $f (x)$ 为可导函数，且 $f^{'} (2)$ = $\frac{1}{2}$ ，则 $lim_{h \to 0} \frac{f (2 - h) - f (2 + h)}{h}$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 若对任意 $m \in [0 ， 1]$ ，总存在唯一 $x \in [- 1 ， 1]$ 使得 $m + x^{2} e^{x} - a = 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， e]$ B、 $(1 + \frac{1}{e} ， e]$ C、 $(0 ， e]$ D、 $[1 + \frac{1}{e} ， e]$

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4. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $M$ ，上顶点为 $N$ ，右焦点为 $F$ ，若 $\overset{⇀}{M N} \cdot \overset{⇀}{N F} = 0$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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5. 设 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b} ， \overset{⇀}{c}$ 均为非零向量，已知命题 $p ： \overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{b}$ 是 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{c} = \overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{c}$ 的必要不充分条件，命题 $q ： x > 1$ 是 $| x | > 1$ 成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \lor q$ C、 $(\neg p) \land (\neg q)$ D、 $p \lor (\neg q)$

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6. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，实轴长为8，离心率为 $\frac{5}{4}$ ，则它的渐近线的方程为（）

A、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{9}{16} x$ D、 $y = \pm \frac{3}{4} x$

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7. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 与直线 $y = 2 x$ 无交点，则离心率的取值范围是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $(1 ， \sqrt{5})$ D、 $(1 ， \sqrt{5}]$

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8. 函数 $y = \sin x - \cos x$ ，则 $f' (π)$ 的值是（）

A、-1 B、0 C、1 D、π

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9. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，线段 $P F_{2}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 相切于点 $Q$ ，且点 $Q$ 为线段 $P F_{2}$ 的中点，则 $\frac{a^{2} + e^{2}}{b}$ （其中 $e$ 为椭圆 $C$ 的离心率）的最小值为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$

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10. 抛物线 $y^{2} = 2 p x$ ，过点 $A (2, 4)$ ，F为焦点，定点B的坐标为 $(8, - 8)$ ，则 $| A F | : | B F |$ 值为（）

A、1:4 B、1:2 C、2:5 D、3:8

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11. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点， $P A ⊥ l$ ，垂足为A，若直线AF的斜率为 $- \sqrt{3}$ ，则 $| P F |$ 等于（）

A、8 B、 $4 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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12. 当 $x \in [- 2, 1]$ 时，不等式 $a x^{3} - x^{2} + 4 x + 3 \geq 0$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- 5, - 3]$ B、 $[- 6, - \frac{9}{8}]$ C、 $[- 6, - 2]$ D、 $[- 4, - 3]$

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二、填空题

13. 命题“ $\forall x \in R ， a x^{2} - 2 a x + 3 > 0$ 恒成立”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 设曲线 $y = e^{x}$ 在点（0，1）处的切线与曲线 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 上点 $Ρ$ 处的切线垂直，则 $Ρ$ 的坐标为．

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15. 已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{1}{2} x^{2} + b x$ 存在极小值，且对于 $b$ 的所有可能取值， $f (x)$ 的极小值恒大于0，则 $a$ 的最小值为．

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16. 设直线 $x - 3 y + m = 0 (m \neq 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别交于点 $A, B$ ，若点 $P (m, 0)$ 满足 $| P A | = | P B |$ ，则该双曲线的离心率是．

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三、解答题

17. 已知命题 $p$ ： $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - m x - 1 = 0$ 的两个实根，且不等式 $a^{2} + 4 a - 3 \leq | x_{1} - x_{2} |$ 对任意 $m \in R$ 恒成立；命题 $q$ ：不等式 $a x^{2} + 2 x - 1 > 0$ 有解，若命题 $p \lor q$ 为真， $p \land q$ 为假，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,-2)和点B，B在第一象限， $| A B | = 3 \sqrt{2}$ .

(1)、求点B的坐标；

(2)、若直线 $l$ 与双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 相交于E,F两点，且线段EF的中点坐标为 $(4, 1)$ ，求a的值.

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19. 设 $p$ ：实数 $a$ 满足不等式 $3^{a} \leq 9$ ， $q$ ：函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3 (3 - a)}{2} x^{2} + 9 x$ 无极值点.

(1)、若“ $p \land q$ ”为假命题，“ $p \lor q$ ”为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知“ $p \land q$ ”为真命题，并记为 $r$ ，且 $t$ ： $a^{2} - (2 m + \frac{1}{2}) a + m (m + \frac{1}{2}) > 0$ ，若 $r$ 是 $\neg t$ 的必要不充分条件，求正整数 $m$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = - a ln x + x - \frac{a}{x}$ ( $a$ 为常数)有两个不同的极值点.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、记 $f (x)$ 的两个不同的极值点分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，若不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > λ {(x_{1} + x_{2})}^{2}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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21. 如图，椭圆W： $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距与椭圆Ω： $\frac{x^{2}}{4}$ +y²＝1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．

(1)、求W的标准方程：

(2)、求 $\frac{| B C |}{| M N |}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x + b$ ，在点 $M (1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $9 x + 3 y - 10 = 0$ ，求：

(1)、实数a，b的值；

(2)、函数 $f (x)$ 的单调区间以及在区间 $[0 ， 3]$ 上的最值．

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