安徽省滁州市定远县重点中学2019-2020学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $m$ 为正数，则“ $m > 1$ ”是“ $\frac{1}{m} + \lg \frac{1}{m} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知命题 $p ：$ “函数 $f (x) = 2 a x^{2} + 3 \ln x$ 在区间 $(0 ， 1]$ 上是增函数”；命题 $q ：$ “存在 $x_{0} \in [1 ， + \infty)$ ，使 $2^{x_{0}} (x_{0} + a) < 1$ 成立”，若 $p \land q$ 为真命题，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{3}{4} ， - \frac{1}{2})$ B、 $[- \frac{3}{4} ， - \frac{1}{2})$ C、 $[- \frac{3}{4} ， - \frac{1}{2}]$ D、 $(- \frac{3}{4} ， - \frac{1}{2}]$

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3. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $\vec{A B} = (4 ， - 2 ， 3)$ ， $\vec{A D} = (- 4 ， 1 ， 0)$ ， $\vec{A P} = (- 6 ， 2 ， - 8)$ ，则点 $P$ 到底面 $A B C D$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{26}}{13}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ C、1 D、2

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4. 自圆 $C$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 4$ 外一点 $P (x ， y)$ 引该圆的一条切线，切点为 $Q$ ，切线的长度等于点 $P$ 到原点 $O$ 的长，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{13}{10}$ B、3 C、4 D、 $\frac{21}{10}$

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5. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 的直线交椭圆E于 $A ， B$ 两点， $| A F_{1} | = 3 | B F_{1} |$ ，若 $cos ∠ A F_{2} B = \frac{3}{5}$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 已知双曲线 $C$ 的中心为原点， $F (3 ， 0)$ 是 $C$ 的焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $A B$ 的中点为 $N (- 12 ， - 15)$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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7. 已知函数f（x）对定义域内R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时，其导数 $f^{'} (x)$ 满足 $x f^{'} (x)$ ＞ $2 f^{'} (x)$ ，若2＜a＜4，则（）

A、 $f (2^{a}) < f (\frac{\ln a}{a}) < f [{(\frac{\ln a}{a})}^{2}]$ B、 $f (\frac{\ln a}{a}) < f [{(\frac{\ln a}{a})}^{2}] < f (2^{a})$ C、 $f (\frac{\ln a}{a}) < f (2^{a}) < f [{(\frac{\ln a}{a})}^{2}]$ D、 $f (2^{a}) < f [{(\frac{\ln a}{a})}^{2}] < f (\frac{\ln a}{a})$

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8. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $P$ 是 $l$ 上一点， $Q$ 是直线 $P F$ 与 $C$ 的一个交点，若 $\overset{⇀}{F P} = 3 \overset{⇀}{F Q}$ ，则 $| Q F | =$ （）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、2

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9. 已知函数f(x)＝e^x－(x＋1)²(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知 $A ， B$ 两点均在焦点为 $F$ 的抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，若 $| A F | + | B F | = 4$ ，线段 $A B$ 的中点到直线 $x = \frac{p}{2}$ 的距离为1，则 $p$ 的值为（）

A、1 B、1或3 C、2 D、2或6

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11. 已知 $\vec{a} = (1 - t ， 1 - t ， t)$ ， $\vec{b} = (2 ， t ， t)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{55}}{5}$ C、 $\frac{11}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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12. 已知函数f(x)＝xln x－ae^x(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、(0，e) C、 $(\frac{1}{e} ， e)$ D、(－∞，e)

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二、填空题

13. 已知 $α ⊥ β$ ，平面 $α$ 与平面 $β$ 的法向量分别为 $\overset{⇀}{m}$ ， $\overset{⇀}{n}$ ，且 $\overset{⇀}{m} = (1 ， - 2 ， 5)$ ， $\overset{⇀}{n} = (- 3 ， 6 ， z)$ ，则 $z =$ .

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14. 抛物线 $y^{2} = 2 m x (m > 0)$ 的焦点到双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为 .

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15. 已知函数 $f$ $(x)$ $=$ $\frac{1}{2}$ $x^{2}$ $+$ $2 a x$ $-$ $\ln x$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{3} ， 2]$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围为．

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16. 下列说法中所有正确命题的序号是．
①“ $x < 2$ ”是“ $x^{2} < 4$ ”成立的充分非必要条件；

② $a$ 、 $b \in R$ ，则“ $a b > 0$ ”是“ $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$ ”的必要非充分条件；

③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；

④设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $a_{1} < 0$ ”是“ $S_{3} < S_{2}$ ”成立的充要条件.

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三、解答题

17. 设命题 $p ： \frac{2 c - 1}{c - 1} < 0$ ，命题 $q$ ：关于 $x$ 不等式 $x + {(x - 2 c)}^{2} > 1$ 的解集为 $R$ .

(1)、若命题 $q$ 为真命题，求实数 $c$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p$ 或 $q$ 是真命题， $p$ 且 $q$ 是假命题，求实数 $c$ 的取值范围.

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18. 已知动点 $P$ 与平面上两定点 $A (- \sqrt{2} ， 0)$ ， $B (\sqrt{2} ， 0)$ 连线的斜率的积为定值 $- \frac{1}{2}$ ．

(1)、试求动点 $P$ 的轨迹方程 $C$ ；

(2)、设直线 $l$ ： $y = k x + 1$ 与曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，当 $| M N | = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ 时，求直线 $l$ 的方程．

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19. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，P是双曲线上一点， $F_{2}$ 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，

(1)、求双曲线的渐近线方程；

(2)、当 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $48 \sqrt{3}$ ，求此双曲线的方程．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} (s i n x - a x^{2} + 2 a - e)$ ，其中
$a \in R ， e = 2.71828...$ 为自然对数的底数.

(1)、当 $a = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $\frac{1}{2} \leq a \leq 1$ 时，求证：对任意的 $x \in [0 ， + \infty) ， f (x) < 0$ .

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21. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 焦点为 $F$ ，点A，B，C为该抛物线上不同的三点，且满足 $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F C} = 0$ .

(1)、求 $| F A | + | F B | + | F C |$ ；

(2)、若直线 $A B$ 交 $y$ 轴于点 $D (0 ， b)$ ，求实数 $b$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - \frac{x}{{(1 + x)}^{a}}$ ，实数 $a > 0$ ．

(1)、若 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $x > 0$ 时，不等式 $f (x) < 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值．

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