山东省烟台市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z$ 满足 $\frac{z + i}{3 + 2 i} = 1 - i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、-2 C、 $2 i$ D、2

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2. 3位女生和2位男生站成一排照相，其中男生不能站在一起的排法种数为（）

A、72 B、60 C、36 D、3

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3. 某教育局安排4名骨干教师分别到3所农村学校支教，若每所学校至少安排1名教师，且每名教师只能去所学校，则不同安排方案有（）

A、6种 B、24种 C、36种 D、72种

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4. 若 ${(m x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 项的系数是240，则实数 $m$ 的值是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、±2 D、 $\pm \sqrt{2}$

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5. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过 $4$ 场即获胜的概率是（）

A、0.18 B、0.21 C、0.39 D、0.42

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6. 已知随机变量 $X ~ N (0.4 ， δ_{1}^{2})$ ， $Y ~ N (0.8 ， δ_{2}^{2})$ ，其正态分布曲线如图所示，则下列说法错误的是（）

A、 $P (X \geq 0.4) = P (Y \geq 0.8)$ B、 $P (X \geq 0) = P (Y \geq 0)$ C、 $X$ 的取值比 $Y$ 的取值更集中于平均值左右 D、两支密度曲线与 $x$ 轴之间的面积均为1

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7. 根据环境空气质量监测资料表明，某地一天的空气质量为轻度污染的概率是0.25，连续两天为轻度污染的概率是0.1，则此地在某天的空气质量为轻度污染的条件下，随后一天的空气质量也为轻度污染的概率是（）

A、0.4 B、0.25 C、0.1 D、0.05

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8. 设 $X ~ B (4, p)$ ，其中 $\frac{1}{2} < p < 1$ ，且 $P (X = 2) = \frac{8}{27}$ ，则 $P (X = 3) =$ （）

A、 $\frac{8}{81}$ B、 $\frac{16}{81}$ C、 $\frac{8}{27}$ D、 $\frac{32}{81}$

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二、多选题

9. 下列叙述正确的是（）

A、相关关系是一种确定性关系，一般可分为正相关和负相关 B、回归直线一定过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、在回归分析中， $R^{2}$ 为0.98的模型比 $R^{2}$ 为0.80的模型拟合的效果好 D、某同学研究卖出的热饮杯数 $y$ 与气温 $x$ （℃）时，一定可卖出142杯热饮

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10. 某课外兴趣小组通过随机调查，利用 $2 \times 2$ 残联表和 $K^{2}$ 统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得 $K^{2} = 6.748$ ，经查阅临界值表知 $P (K^{2} \geq 6.635) = 0.010$ ，则下列判断正确的是（）

A、每100个数学成绩优秀的人当中就会有1名是女生 B、若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010 C、有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关” D、在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”

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11. 袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（）

A、抽取2次后停止取球的概率为 $\frac{3}{5}$ B、停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为 $\frac{9}{10}$ C、取球次数 $ξ$ 的期望为2 D、取球次数 $ξ$ 的方差为 $\frac{9}{20}$

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12. 某班级的全体学生平均分成6个小组，且每个小组均有4名男生和多名女生.现从各个小组中随机抽取一名同学参加社区服务活动，若抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为 $\frac{728}{729}$ ，则（）

A、该班级共有36名学生 B、第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为 $\frac{2}{3}$ C、抽取的6名学生中男女生数量相同的概率是 $\frac{160}{729}$ D、设抽取的6名学生中女生数量为 $X$ ，则 $D (X) = \frac{4}{3}$

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三、填空题

13. 若随机变量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ， $P (X > 4) = P (X < - 2) = 0.1$ ，则 $P (1 \leq X \leq 4) =$ .

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14. 由 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ 组成没有重复数字的五位奇数有个.

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15. 已知 $x^{n} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + ... + a_{n} {(x + 1)}^{n} (n \in N^{*})$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，若 $a_{4} + a_{5} = 0$ ，则 $n =$ .

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16. 在一次篮球投篮测试中，记分规则如下（满分为10分）：①每人可投篮7次，每投中一次记1分；②若连续两次投中加0.5分，连续三次投中加1分，连续四次投中加1.5分，以此类推，…，七次都投中加3分.假设某同学每次投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各次投篮相互独立，则：

(1)、该同学在测试中得2分的概率为；

(2)、该同学在测试中得8分的概率为.

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四、解答题

17. 复数 $z_{1}$ 对应的点在第一象限，且 $z_{1}^{2} = - 3 + 4 i$ ，复数 $z_{2} = (a - 4 \sin^{2} θ) + (1 + 2 \cos θ) i$ ， $θ \in (0, π)$ ， $a \in R$ .

(1)、求复数 $z_{1}$ ；

(2)、若 $z_{1} (\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i) = z_{2}$ ，求 $θ$ ， $a$ 的值.

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18. 已知 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64.

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求 $(2 x + \frac{1}{x^{2}}) {(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 展开式中的常数项.

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19. 某水果经销商为了对一批刚上市水果进行合理定价，将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：

试销单价 $x$ （元/公斤）

16

17

18

19

20

日销售量 $y$ （公斤）

168

146

120

90

56

（参考数据及公式： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 1630$ ， $\bar{y} = 116$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 10160$ ，线性回归方程 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

(1)、已知变量 $x, y$ 具有线性相关关系，求该水果日销售量 $y$ （公斤）关于试销单价 $x$ （元/公斤）的线性回归方程，并据此分析销售单价 $x \in [16, 20]$ 时，日销售量的变化情况；

(2)、若该水果进价为每公斤15元，预计在今后的销售中，日销售量和售价仍然服从（1）中的线性相关关系，该水果经销商如果想获得最大的日销售利润，此水果的售价 $x$ $(x \in N^{*})$ 应定为多少元？

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20. 大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了

100

名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：

用时（秒）	$[5, 10)$	$[10, 15)$	$[15, 20)$	$[20, 25)$
男性人数	15	22	14	9
女性人数	5	11	17	7

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

(1)、将用时低于15秒的称为“熟练盲拧者”，不低于15秒的称为“非熟练盲拧者”.请根据调查数据完成以下

2 \times 2

列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别有关？

	熟练盲拧者	非熟练盲拧者
男性
女性

(2)、以这100名盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取20名爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？

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21. 某大型电器企业，为了解组装车间职工的生活情况，从中随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如下：

日组装个数	$[155, 165)$	$[165, 175)$	$[175, 185)$	$[185, 195)$	$[195, 205)$	$[205, 215]$
人数	6	12	34	30	10	8

(1)、现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率；

(2)、由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数

Z

服从正态分布

N (μ, 169)

，

μ

近似为这100人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.

（i）若组装车间有20000名职工，求日组装个数超过198的职工人数；

（ii）为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望.

附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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22. 2019年12月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从6个问题中随机抽3个.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个，而乙能正确回答每个问题的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的3道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜.

(1)、求甲、乙两人共答对2个问题的概率；

(2)、试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由；

(3)、求乙答对题目数的分布列和期望.

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试销单价 $x$ （元/公斤）	16	17	18	19	20
日销售量 $y$ （公斤）	168	146	120	90	56