山东省潍坊市五县市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设函数 $f (x) = x,$ 则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、-1

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2. 若 $A_{2 n}^{3} = 10 A_{n}^{3}$ ，则 $n =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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3. 一物体做直线运动，其位移 $s$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）的关系是 $s = - t^{2} + 5 t$ ，则该物体在 $t = 2 s$ 时的瞬时速度为（）

A、3 B、7 C、6 D、1

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4. 函数 $y = x^{3} - 3 x + 4$ 有（）

A、极大值6，极小值2 B、极大值2，极小值6 C、极小值－1，极大值2 D、极小值2，极大值8

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5. 已知函数 $f (x)$ 与 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则不等式组 ${\begin{array}{l} f (x) < f^{'} (x) \\ 0 < x < 3 \end{array}$ 解集为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， 4)$

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6. 从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为（）

A、420 B、660 C、840 D、880

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7. 设 $0 < a < 1$ ，离散型随机变量 $X$ 的分布列是

$X$

0

1

2

$P$

$\frac{1 - a}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{a}{2}$

则当 $a$ 在 $(0, \frac{2}{3})$ 内增大时（）

A、 $D (X)$ 增大 B、 $D (X)$ 减小 C、 $D (X)$ 先减小后增大 D、 $D (X)$ 先增大后减小

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8. 已知函数 $f (x) = e^{2 x + 1} - e^{- 2 x} - m x$ 在 $R$ 上为增函数，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 2 \sqrt{e}]$ B、 $[2 \sqrt{e} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 4 \sqrt{e}]$ D、 $[4 \sqrt{e} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 关于 ${(a - b)}^{11}$ 的说法，正确的是（）

A、展开式中的二项式系数之和为2048 B、展开式中只有第6项的二项式系数最大 C、展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D、展开式中第6项的系数最大

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ ，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 一定存在最值 B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $f (x_{0}) = 0$ C、若 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极值点，则 $f^{'} (x_{0}) = 0$ D、若 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极小值点，则 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， x_{0})$ 单调递增

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11. 甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布 $N (μ_{1} ， σ_{1}^{2})$ ， $N (μ_{2} ， σ_{2}^{2})$ 其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（）

A、乙类水果的平均质量 $μ_{2} = 0.8$ B、甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C、甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D、乙类水果的质量服从的正态分布的参数 $σ_{2} = 1.99$

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12. （多选）已知函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \ln x$ ，则以下结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的单调减区间是 $(0 ， 2)$ B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点 C、存在正实数 $k$ ，使得 $f (x) > k x$ 成立 D、对任意两个正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 则 $x_{1} + x_{2} > 4$

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三、填空题

13. 曲线y＝x²+lnx在点（1，1）处的切线方程为．

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14. 用0，1，2，3，4，5这6个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数的个数为.（用数字作答）

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15. 盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色相同外完全相同.从盒中一次随机取出4个球，设 $X$ 表示取出的三种颜色球的个数的最大数，则 $P (X = 3)$ =.

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16. 设函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x$ （ $a$ ， $b$ ， $c \in R$ ， $a \neq 0$ ）若不等式 $x f^{'} (x) - a f (x) \leq 2$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，则 $a$ = ， $\frac{b + c}{a}$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 求下列函数的导数：

(1)、 $f (x) = (1 + \cos x) (1 - x^{3})$ ；

(2)、 $f (x) = \frac{x}{x + 1} - 2^{x}$ .

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18. 2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.

参考公式：附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$

$P (K^{2} > k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	0.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10828

(1)、完成

2 \times 2

列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

	满意	不满意	总计
男生	20
女生		15
合计			120

(2)、从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为

ξ

，求出

ξ

的分布列及期望值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - \frac{a}{x} - a \ln x$

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 某工厂生产某种型号的农机具零配件，为了预测今年7月份该型号农机具零配件的市场需求量，以合理安排生产，工厂对本年度1月份至6月份该型号农机具零配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价

x

（单位：元）和销售量

y

（单位：千件）之间的6组数据如下表所示：

月份	1	2	3	4	5	6
销售单价 $x$ （元）	11.1	9.1	9.4	10.2	8.8	11.4
销售量 $y$ （千件）	2.5	3.1	3	2.8	3.2	2.4

参考公式：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$

参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 605.82$ ， $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 168.24$

(1)、根据1至6月份的数据，求

y

关于

x

的线性回归方程（系数精确到0.01）；

(2)、结合（1）中的线性回归方程，假设该型号农机具零配件的生产成本为每件3元，那么工厂如何制定7月份的销售单价，才能使该月利润达到最大？（计算结果精确到0.1）

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21. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知 $A B = 20$ km， $B C = 10 km$ ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm．
（I）按下列要求写出函数关系式：

①设 $∠ B A O = θ (rad)$ ，将 $y$ 表示成 $θ$ 的函数关系式；

②设 $O P = x (km)$ ，将 $y$ 表示成 $x$ 的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短．

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22. 已知函数 $f (x) = (2 - a) x - 2 (1 + \ln x) + a$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{1}{2})$ 上无零点，求 $a$ 的取值范围.

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$X$	0	1	2
$P$	$\frac{1 - a}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{a}{2}$