山东省潍坊市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z （ 2 + i ） = 5 i$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2.

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2. 若函数 $y = f (x)$ 在区间 $(a ， b)$ 内可导，且 $x_{0} \in (a ， b)$ ，则 $lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0} - h)}{h}$ 的值为（）

A、 $f^{'} (x_{0})$ B、 $0$ C、 $2 f^{'} (x_{0})$ D、 $- 2 f^{'} (x_{0})$

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3. 已知随机变量 $ξ ~ B (n, p)$ ，若 $E (ξ) = 1.2, D (ξ) = 0.96$ ，则实数n的值为（）

A、4 B、6 C、8 D、24

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4. 有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则 $P (X \leq 2) =$ （）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{13}{14}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{7}{8}$

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5. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件 $A$ ，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件 $B$ ，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{12}$

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6. 已知 ${(x - 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ 则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7} =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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7. 如图， $y = f (x)$ 是可导函数，直线 $l ： y = k x + 2$ 是曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 3$ 处的切线，令 $g (x) = x f (x)$ ， $g' (x)$ 是 $g (x)$ 的导函数，则 $g' (3) =$ （）．

A、－1 B、0 C、2 D、4

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8. 函数 $f (x) = a x^{2} - x \ln x$ 在 $[\frac{1}{e} ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 以下为真命题的是（）

A、纯虚数 $z$ 的共轭复数等于 $- z$ B、若 $z_{1} + z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = {\bar{z}}_{2}$ C、若 $z_{1} + z_{2} \in R$ ，则 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 互为共轭复数 D、若 $z_{1} - z_{2} = 0$ ，则 $z_{1}$ 与 $\bar{z_{2}}$ 互为共轭复数

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10. 设离散型随机变量 $X$ 的分布列为

$X$

0

1

2

4

5

$P$

$q$

0.3

0.2

0.2

0.1

若离散型随机变量 $Y$ 满足 $Y = 2 X + 1$ ，则下列结果正确的有（）

A、 $E (X) = 2$ B、 $D (X) = 2.4$ C、 $D (X) = 2.8$ D、 $D (Y) = 14$

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11. 如图是 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象，则下列判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， - 1]$ 上是增函数 B、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上是增函数，在区间 $[2 ， 4]$ 上是减函数 D、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点

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12. 下列命题正确的是（）

A、已知随机变量X服从正态分布 $N (3, 1)$ ，且 $P (2 \leq X \leq 4) = 0.683$ ，则 $P (X > 4) = 0.317$ B、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = \ln y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 0.3 x + 4$ ，则 $c = e^{4}, k = 0.3$ C、已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ，若 $\hat{b} = 2, \bar{x} = 1$ . $\bar{y} = 3$ ，则 $\hat{a} = 1$ D、 $C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + 4 C_{n}^{3} + \dots + 2^{n - 1} C_{n}^{n} = \frac{3^{n} - 1}{2}$

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三、填空题

13. 复数 $i^{2020} =$ ．

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14. 在杨辉的《详解九章算法》中载有一个“开方作法本源”图，就是“杨辉三角”．我们可以从中发现下列的等式：

第1行： $10^{°} \cdot 1 = 1$ ，

第2行： $10^{1} \cdot 1 + 10^{0} \cdot 1 = 11$ ，

第3行： $10^{2} \cdot 1 + 10^{1} \cdot 2 + 10^{0} \cdot 1 = 121$ ，

第4行： $10^{3} \cdot 1 + 10^{2} \cdot 3 + 10^{1} \cdot 3 + 10^{0} \cdot 1 = 1331$ ，

第5行： $10^{4} \cdot 1 + 10^{3} \cdot 4 + 10^{2} \cdot 6 + 10^{1} \cdot 4 + 10^{0} \cdot 1 = 14641$ ，

那么由此可得，第2020行的等式等号右侧的数值为．（结果保留最简形式）

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15. 现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为．

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16. 若点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - e^{x} + 1 ， x \leq 1 \\ \ln x ， x > 1 \end{array}$ 的图象上任意两点，且函数 $f (x)$ 分别在点 $A$ 和点 $B$ 处的切线互相垂直，则 $x_{1} x_{2}$ 的最大值为 .

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四、解答题

17. 若 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式的二项式系数之和是64．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中的常数项．

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18. 函数 $f (x) = x \ln x - a x + 1$ 在点 $A (1 ， f (1))$ 处的切线斜率为 $- 2$ ．

(1)、求实数a的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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19. 第35届牡丹花会期间，我班有5名学生参加志愿者服务，服务场所是王城公园和牡丹公园.

(1)、若学生甲和乙必须在同一个公园，且甲和丙不能在同一个公园，则共有多少种不同的分配方案？

(2)、每名学生都被随机分配到其中的一个公园，设 $X, Y$ 分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数，记 $ξ = | X - Y |$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ .

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20. “十三五”规划确定了到2020年消除贫困的宏伟目标，打响了精准扶贫的攻坚战，为完成脱贫任务，某单位在甲地成立了一家医疗器械公司吸纳附近贫困村民就工，已知该公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完，每千件的销售收入为 $g (x)$ 万元，已知 $g (x) = {\begin{array}{l} 11.8 - \frac{1}{30} x^{2} (0 < x ⩽ 10) ， \\ \frac{154}{x} - \frac{2000}{3 x^{2}} (x > 10) . \end{array}$

(1)、请写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；

(2)、月产量为多少千件时，该公司在这一型号医疗器械的生产中所获月利润最大？并求出最大月利润（精确到0.1万元）．

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21. 《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为 $A 、 B +$ 、 $B 、 C +$ 、 $C 、 D +$ 、 $D 、 E$ 共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到 $[91 ， 100]$ 、 $[81 ， 90]$ 、 $[71 ， 80]$ 、 $[61 ， 70]$ 、 $[51 ， 60]$ 、 $[41 ， 50]$ 、 $[31 ， 40]$ ， $[21 ， 30]$ 八个分数区间，得到考生的等级成绩．某市高一学生共6000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩 $ξ$ 大致服从正态分布 $N (70 ， 169)$ ．

(1)、求该市化学原始成绩在区间 $(57 ， 96)$ 的人数；

(2)、以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间 $[61 ， 80]$ 的人数，求 $P (X ⩾ 2)$ ．
（附：若随机变量 $ξ ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.683$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.954$ ， $P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.997$ ）

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22. 函数 $f (x) = a (x + 1) - 2 \ln (x + 1)$ （a为常数，且 $a > 0$ ）在 $x = 1$ 处取得极值．

(1)、求实数a的值，并求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、关于x的方程 $f (x) + x^{2} + b = 6 x + 1 - 8 \ln (x + 1)$ 在 $[1 ， 2]$ 上恰有1个实数根，求实数b的取值范围；

(3)、求证：当 $n \in N^{*}$ 时， $\ln n < \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{1}{i} + \frac{n - 1}{2} (i \in N^{*})$ ．

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$X$	0	1	2	4	5
$P$	$q$	0.3	0.2	0.2	0.1