山东省日照市五莲县、莒县2019-2020学年高二下学期数学期中模块检测试卷

试卷更新日期：2021-04-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $A, B$ 独立，且 $P (A) = 0.8$ ，则 $P (A | B) =$ （）

A、0.2 B、0.8 C、0.16 D、0.25

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2. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下

零件数 $x$ （个）

2

3

4

5

加工时间 $y$ （分钟）

26

$a$

49

54

根据上表可得回归方程 $\hat{y} = 9.4 x + 9.1$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、37.3 B、38 C、39 D、39.5

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3. 曲线 $y = x \ln x$ 在点 $M (e ， e)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x + e$ B、 $y = 2 x - e$ C、 $y = x + e$ D、 $y = x - e$

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4. 已知随机变量 $X \sim N (2, σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $P (X < 4) = 0.7$ ，则 $P (X < 0) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.5 D、0.7

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5. 为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定安排5名党员干部到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配 $1$ 名党员干部，则不同的分配方案共有（）

A、264种 B、480种 C、240种 D、720种

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6. 连续投掷2粒大小相同，质地均匀的骰子3次，则恰有2次点数之和不小于10的概率为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{5}{72}$ C、 $\frac{1}{15}$ D、 $\frac{5}{216}$

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7. 设随机变量X～B（n,p）,E(X)=12,D(X)=4,则n与p的值分别为（）

A、18， $\frac{1}{3}$ B、12， $\frac{2}{3}$ C、18， $\frac{2}{3}$ D、12， $\frac{1}{3}$

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8. 某年数学竞赛请自以为来自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9,8,7,4,3,2,1,5,6,10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，则n的值为（）

A、512 B、511 C、1024 D、1023

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二、多选题

9. 通过随机询问110名不同性别的大学生是否爱好某项运动，得到如下的 $2 \times 2$ 列联表：

男

女

爱好

40

20

不爱好

20

30

由 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 算得 $K^{2} = \frac{110 \times {(40 \times 30 - 20 \times 20)}^{2}}{60 \times 50 \times 60 \times 50} \approx 7.8$ ，

参照附表，以下不正确的有（）

附表：

$P (K^{2} \geq k)$

0.050

0.010

0.001

$k$

3.841

6.635

10.828

A、在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B、在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C、有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D、有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

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10. ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt[4]{x}})}^{8}$ 展开式中系数最大的项（）

A、第2项 B、第3项 C、第4项 D、第5项

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11. 下列说法错误的是（）

A、回归直线过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ B、两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 $1$ C、在回归直线方程 $\hat{y} = 0.2 x + 0.8$ 中，当解释变量 $x$ 每增加1个单位时，预报变量 $\hat{y}$ 平均增加0.8个单位 D、对分类变量 $X$ 与 $Y$ ，随机变量 $K^{2}$ 的观测值越大，则判断“ $X$ 与 $Y$ 有关系”的把握程度越小

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{\ln x}$ ，则（）

A、 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x)$ 的图象位于 $x$ 轴下方 B、 $f (x)$ 有且仅有一个极值点 C、 $f (x)$ 有且仅有两个极值点 D、 $f (x)$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上有最大值

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三、填空题

13. 10件产品中有2件次品，从中随机抽取3件，则恰有1件次品的概率是．

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14. 若 ${(x - 3)}^{3} {(2 x + 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{0} + a_{2} + ... + a_{8} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x - \sin x$ ， $x \in (0, π)$ ，则 $f (x)$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ，若 $f (x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0}$ ＞0，则 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为 $m$ .
（I）求 $m$ 的值；

（II）求 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x})}^{\frac{3 m}{4}}$ 的展开式中的常数项.

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18. 某单位为了了解用电量y度与气温 $x ℃$ 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．

气温 $(℃)$

14

12

8

6

用电量 $($ 度 $)$

22

26

34

38

（I）求线性回归方程；（参考数据： $\sum_{i = 1}^{4} x_{i} y_{i} = 1120$ ， $\sum_{i = 1}^{4} x_{i}^{2} = 440$ ）

（II）根据（I）的回归方程估计当气温为 $10 ℃$ 时的用电量．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \cdot \bar{x}$ ．

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19. 一同学投篮每次命中的概率是 $\frac{1}{2}$ ，该同学连续投蓝5次，每次投篮相互独立.

(1)、求连续命中4次的概率；

(2)、求恰好命中4次的概率.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a x + b$ （ $a > 0$ ， $b \in R$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，当 $a = b$ 时，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“ $3 + 3$ ”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体 $S$ ，从学生群体 $S$ 中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：

选考物理、化学、生物的科目数

1

2

3

人数

5

25

20

(I)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；

(II)从所调查的50名学生中任选2名，记 $X$ 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；

(III)将频率视为概率，现从学生群体 $S$ 中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作 $Y$ ，求事件“ $y \geq 2$ ”的概率.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x ， g (x) = x - \frac{1}{x}$ ．

(1)、①若直线 $y = k x + 1$ 与 $f (x) = \ln x$ 的图象相切，求实数 $k$ 的值；
②令函数 $h (x) = f (x) - | g (x) |$ ，求函数 $h (x)$ 在区间 $[a ， a + 1]$ $(a > 0)$ 上的最大值．

(2)、已知不等式 $2 f (x) < k g (x)$ 对任意的 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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零件数 $x$ （个）	2	3	4	5
加工时间 $y$ （分钟）	26	$a$	49	54

	男	女
爱好	40	20
不爱好	20	30

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

气温 $(℃)$	14	12	8	6
用电量 $($ 度 $)$	22	26	34	38

选考物理、化学、生物的科目数	1	2	3
人数	5	25	20