山东省平邑县、沂水县2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（）

A、取到产品的件数 B、取到正品的概率 C、取到次品的件数 D、取到次品的概率

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2. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ，则 $f^{'} (4) =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、1 D、3

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3. 设随机变量 $ξ \sim B (n ， p)$ ，且 $E ξ = 1.6$ ， $D ξ = 1.28$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{5}$

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4. 若 $A_{n}^{3} = 12 C_{n}^{n - 2}$ ，则 $n =$ （）

A、4 B、6 C、7 D、8

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5. ${1.02}^{6}$ 的近似值（精确到0.01）为（）

A、1.12 B、1.13 C、1.14 D、1.20

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6. 一个质量 $m = 5 kg$ 的物体作直线运动，设运动距离 $s$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）的关系可用函数： $s (t) = t + \frac{1}{2} t^{2}$ 表示，并且物体的动能 $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$ （ $m$ 为物体质量， $v$ 为物体运动速度），则物体开始运动后第 $7 s$ 时的动能是（）

A、 $160 J$ B、 $165 J$ C、 $170 J$ D、 $175 J$

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7. 袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有7个白球，3个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）

A、1 B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{7}{15}$ D、 $\frac{11}{15}$

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8. 若直线 $y = m$ 与 $y = 3 x - x^{3}$ 的图象有三个不同的交点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 甲、乙两类水果的质量（单位： $k g$ ）分别服从正态分布 $N (μ_{1} ， σ_{1}^{2}) ， N (μ_{2} ， σ_{2}^{2})$ ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、甲类水果的平均质量 $μ_{1} = 0.4 k g$ B、甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近 C、甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D、乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近

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10. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ 且导函数为 $f' (x)$ ，如图是函数 $y = x f' (x)$ 的图像，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的增区间是 $(- 2 ， 0) ， (2 ， + \infty)$ B、函数 $f (x)$ 的增区间是 $(- \infty ， - 2) ， (2 ， + \infty)$ C、 $x = - 2$ 是函数的极小值点 D、 $x = 2$ 是函数的极小值点

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11. 设离散型随机变量 $X$ 的分布列为（）

$X$

0

1

2

3

4

$P$

$q$

0.4

0.1

0.2

0.2

若离散型随机变量 $Y$ 满足 $Y = 2 X - 1$ ，则下列结果正确的有（）

A、 $q = 0.2$ B、 $E X = 2$ ， $D X = 1.8$ C、 $E X = 2$ ， $D X = 1.4$ D、 $E Y = 3$ ， $D Y = 7.2$

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12. 对于函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，下列说法正确的有（）．

A、 $f (x)$ 在 $x = e$ 处取得极大值 $\frac{1}{e}$ B、 $f (x)$ 有两不同零点 C、 $f (2) < f (π) < f (3)$ D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，则 $k > 1$

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三、填空题

13. 二项式 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是

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14. 甲、乙、丙三人投篮一次命中的概率分别为 $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{3}$ .今三人各投篮一次，至少有一人命中的概率是.

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15. 若 $f (x) = m \ln x - x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 4 x + 4$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数 $m$ 取值范围.

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16. 用0，1，2，3，4，5六个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是；可以组成有重复数字的三位数的个数为.

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四、解答题

17. 已知 ${(1 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，其中 $a_{2} = 21$ .

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求 $3 a_{1} + 3^{2} a_{2} + 3^{3} a_{3} + \dots + 3^{n} a_{n}$ 的值.

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18. 已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个.

(1)、若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；

(2)、若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - a x + b$ 在 $x = 1$ 处取得极值，且 $f (1) = 1$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的值域.

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20. 某地需要修建一条大型输油管道通过720千米宽的荒漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为108万元，铺设距离为 $x$ 千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为 $(2 + \sqrt{x}) x$ 万元.设余下工程的总费用为 $y$ 万元.

(1)、试将 $y$ 表示成关于 $x$ 的函数；

(2)、需要修建多少个增压站才能使总费用 $y$ 最小？

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21. 已知从 $A$ 地到 $B$ 地有两条道路可以到达，走道路①准点到达的概率为 $\frac{3}{4}$ ，不准点到达的概率为 $\frac{1}{4}$ ；走道路②准点到达的概率为 $p$ ，不准点到达的概率为 $(1 - p)$ .若甲乙两车走道路①，丙车由于其他原因走道路②，且三辆车是否准点到达相互之间没有影响.

(1)、若三辆车中恰有一辆车没有准点到达的概率为 $\frac{7}{16}$ ，求走道路②准点到达的概率 $p$ ；

(2)、在（1）的条件下，求三辆车中准点到达车辆的辆数的分布列和数学期望.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x - a x^{2}$ ， $g (x) = e^{x} - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上是单调函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，是否存在 $x_{0} \in (0 ， 1)$ ，使得 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象在 $x = x_{0}$ 处的切线互相平行，若存在，请给予证明，若不存在，请说明理由

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$X$	0	1	2	3	4
$P$	$q$	0.4	0.1	0.2	0.2