山东省济南市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $\bar{z}$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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2. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是 $C_{1} D_{1}$ 的中点，且 $\vec{A P} = \vec{A D} + x \vec{A B} + y \vec{A A_{1}}$ ，则实数 $x + y$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 函数 $f (x) = 3 x - 4 x^{3} (x \in [0 ， 1])$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、0 D、-1

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4. 抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P(B|A)的值等于（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{18}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{9}$

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 的部分图象如图，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = x + \tan x$ B、 $f (x) = x + \sin 2 x$ C、 $f (x) = x - \frac{1}{2} \sin 2 x$ D、 $f (x) = x - \frac{1}{2} \cos x$

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6. 已知下表所示数据的回归直线方程为 $\hat{y} = 4 x - 4$ ，则实数a的值为（）

x

2

3

4

5

6

y

3

7

11

a

21

A、16 B、18 C、20 D、22

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x$ 的图象在点 $A (1 ， f (1))$ 处的切线的斜率为3，数列 ${\frac{1}{f (n)}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2020}^{}$ 的值为（）

A、 $\frac{2020}{2021}$ B、 $\frac{2019}{2020}$ C、 $\frac{2018}{2019}$ D、 $\frac{2017}{2018}$

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8. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为（）

A、 $\frac{3}{32}$ B、 $\frac{15}{64}$ C、 $\frac{5}{32}$ D、 $\frac{5}{16}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍 B、设有一个回归方程 $y = 3 - 5 x$ ，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位 C、线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D、在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ²）（σ＞0），则P（ξ＞1）=0.5

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10. 在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P，Q分别为棱BC和棱CC₁的中点，则下列说法正确的是（）

A、BC₁//平面AQP B、平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形 C、A₁D⊥平面AQP D、异面直线QP与A₁C₁所成的角为60°

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11. 若 ${(2 x - 1)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10} ， x \in R$ 则（）

A、 $a_{2} = 180$ B、 $| a_{0} | + | a_{1} | + | a_{2} | + \dots | a_{10} | = 3^{10}$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} = 1$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{10}}{2^{10}} = - 1$

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12. 已知 $a > b > 1 ， e$ 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a e^{a} > b e^{b}$ B、 $a \ln b > b \ln a$ C、 $a \ln a > b \ln b$ D、 $b e^{a} > a e^{b}$

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三、填空题

13. 在某市举行的数学竞赛中，A，B，C三所学校分别有1名、2名、3名同学获一等奖，将这6名同学排成一排合影，若要求同校的同学相邻，有种不同的排法．（用数字作答）

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14. 设 ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $a$ ，二项式系数为 $b$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为.

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15. 《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（" "表示一根阳线，" "表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为.

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16. 对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，定义：设 $f'' (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数 $y = f' (x)$ 的导数，若方程 $f'' (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若已知函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 3 x - \frac{1}{4}$ ，则 $f (x)$ 的对称中心为；计算 $f (\frac{1}{2021}) + f (\frac{2}{2021}) + f (\frac{3}{2021}) + \dots + f (\frac{2020}{2021})$ = ．

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四、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = 1 ， a_{7} = - 5$ ，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、现从 ${a_{n}}$ 的前10项中随机取数， ▲ ，求取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率．
从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答．

条件①：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响

条件②：若从10个数中一次取出三个数

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18. 在如图所示的几何体中， $D E ∥ A C$ ， $A C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A C = 2 D E = 4$ ， $B C = 2$ ， $D C = 1$ ， $∠ B C D = 60 °$ .

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A C D E$ ；

(2)、求平面 $B C D$ 与平面 $B A E$ 所成二面角的正弦值.

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19. 已知 $f (x) = k x - s i n 2 x + a s i n x (k ，$ a为实数 $)$ ．

(1)、当 $k = 0$ ， $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的最大值；

(2)、当 $k = 4$ 时，若 $f (x)$ 在R上单调递增，求a的取值范围．

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20. 在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为 $\frac{3}{4}$ ，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为 $\frac{4}{5}$ ，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量 $ξ$ 表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果 $ξ$ 的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.

(1)、若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分 $ξ$ 的分布列和数学期望.

(2)、试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.

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21. 推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：

得分

$[30 ， 40)$

$[40 ， 50)$

$[50 ， 60)$

$[60 ， 70)$

$[70 ， 80)$

$[80 ， 90)$

$[90 ， 100]$

男性

人数

120

130

110

女性

人数

110

100

附： $K^{2}$ $= \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，（n=a+b+c+d）.

临界值表：

P（K²＞k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；

(2)、将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？

	不太了解	比较了解	合计
男性
女性
合计

(3)、从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为ξ，求ξ的分布列和期望.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + \ln x}{x} - a (a \in R)$

(1)、若 $f (x) \leq 0$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $g (x) = {(x - 1)}^{2} e^{x}$ ，当 $a = 0$ 时，若 $t (x) = f (x) - g (x)$ ，求 $t (x)$ 零点的个数．

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