山东省菏泽市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若复数 $(a^{2} - 3 a + 2) + (a - 1) i$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、2 C、1或2 D、-1

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2. 在复平面内，复数 $\frac{2}{1 + i}$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设 $X$ 为随机变量，且 $X ~ B (n ， p)$ ，若随机变量 $X$ 的数学期望 $E (X) = 1$ ， $D (X) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (X = 1) =$ （）

A、 $\frac{8}{27}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 将 ${(x + \frac{4}{x} - 4)}^{3}$ 展开后，常数项是（）

A、30 B、-30 C、-64 D、-160

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5. 设随机变量ξ的分布列为P(ξ=i)=a ${(\frac{1}{3})}^{i}$ ，i=1，2，3，则a的值为（）

A、1 B、 $\frac{9}{13}$ C、 $\frac{27}{13}$ D、 $\frac{11}{13}$

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6. 若 ${(1 + m x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{6} x^{6}$ ，且 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{6} = 64$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、1或-3 B、-3 C、1 D、1或3

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7. 已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) = 3 x f^{'} (1) + 2 \ln x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- e$ B、-1 C、1 D、 $e$

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8. 设偶函数 $f (x) (x \in R)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ ， $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，则使得 $f (x) < 0$ 成立的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下面是关于复数 $z = 1 + i$ （ $i$ 为虚数单位）的四个命题，其中正确命题的是（）

A、 $| z | = \sqrt{2}$ B、 $z$ 对应的点在第一象限 C、 $z$ 的虚部为 $i$ D、 $z$ 的共轭复数为 $- 1 + i$

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10. 下列判断正确的是（）

A、线性回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 必经过点 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，… $(x_{n} ， y_{n})$ 中心点 $(\bar{x} ， \bar{y})$ B、从独立性检验可知有99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人吃地沟油，那么他有99%可能患胃肠癌 C、若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 $r$ 的绝对值越接近于1 D、将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其方差也要加上或减去这个常数

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11. 设 $X ~ N (μ_{1} ， σ_{1}^{2})$ ， $Y ~ N (μ_{2} ， σ_{2}^{2})$ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中不正确的是（）

A、 $P (Y \geq μ_{2}) \geq P (Y \geq μ_{1})$ B、 $P (X \leq σ_{2}) \leq P (X \leq σ_{1})$ C、对任意正数 $t$ ， $P (X \leq t) \geq P (Y \leq t)$ D、对任意正数 $t$ ， $P (X \geq t) \geq P (Y \geq t)$

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12. 对于函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 处取得极大值 $\frac{1}{2 e}$ B、 $f (x)$ 有两个不同的零点 C、 $f (\sqrt{2}) < f (\sqrt{π}) < f (\sqrt{3})$ D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{2}}$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则 $k > \frac{e}{2}$

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三、填空题

13. 若 $4 - 3 a - a^{2} i = a^{2} + 4 a i (a \in R)$ ，则实数 $a =$ ．

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14. 若 $C_{n}^{2} + C_{n}^{3} = 10$ ，则 $A_{n}^{2} =$ ．

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15. 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有种不同的分派方法．

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四、双空题

16. 若 $f (x) = x^{3} - 3 x + m$ ，当 $m = 0$ 时， $f (x)$ 的极大值为；关于 $x$ 的方程 $f (x) = 0$ 在 $[0 ， 2]$ 上有根，则实数 $m$ 的取值范围是．

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五、解答题

17.

(1)、计算 $\frac{(- 1 + i) (2 + i)}{1 + i}$ ；

(2)、在复数范围内解关于x的方程： $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ ．

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18.

(1)、函数 $f (x) = (1 + \sin x) x$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，求 $f^{'} (\frac{π}{2})$ ；

(2)、设 $l$ 是函数 $y = \frac{1}{x}$ 图象的一条切线，证明： $l$ 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．

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19. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价 $x$ （元）

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

销量 $y$ （件）

90

84

83

80

75

68

(1)、若回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{a} = 250$ ；试预测当单价为10元时的销量；

(2)、预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入－成本）

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20. 在 ${(2 x^{2} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，第3项的二项式系数为28．

(1)、求 $n$ 及第5项的系数；

(2)、求展开式中的有理项．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ ，其中 $a$ 为非零常数．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为 $- 1$ ，求 $f (x)$ 的极值．

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22. 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．

(1)、若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；

(2)、商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．

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单价 $x$ （元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量 $y$ （件）	90	84	83	80	75	68