2015-2016学年湖北省黄冈市高一下学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-09-21 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合M={y|y=cosx，x∈R}，N={x∈Z| $\frac{x - 2}{1 + x}$ ≤0}，则M∩N为（）

A、∅ B、{0，1} C、{﹣1，1} D、（﹣1，1]

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2. 已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（）

A、若a＞b，则ac²＞bc² B、若 $\frac{a}{c} ＞ \frac{b}{c}$ ，则a＞b C、若a³＞b³且ab＜0，则 $\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$ D、若a²＞b²且ab＞0，则 $\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$

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3. 已知点（﹣3，﹣1）和点（b，﹣4）均在直线3x﹣2y﹣a=0上，则ab的值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、﹣35 C、35 D、﹣ $\frac{7}{3}$

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4. 下列命题错误的是（）

A、如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β B、如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

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5. 已知等比数列{a_n}的公比q≠1，则下面说法中不正确的是（　　）

A、{a_n+2+a_n}是等比数列 B、对于k∈N^* ， k＞1，a_k_﹣1+a_k+1≠2a_k C、对于n∈N^* ，都有a_na_n+2＞0 D、若a₂＞a₁ ，则对于任意n∈N^* ，都有a_n+1＞a_n

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6. 下列命题中，真命题的是（）

A、已知f（x）=sin²x+ $\frac{2}{\sin^{2} x}$ ，则f（x）的最小值是2 $\sqrt{2}$ B、已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n+ $\frac{2}{n}$ ，则{a_n}的最小项为2 $\sqrt{2}$ C、已知实数x，y满足x+y=2，则xy的最大值是1 D、已知实数x，y满足xy=1，则x+y的最小值是2

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7. 在数列{a_n}中，a₁= $\frac{1}{2}$ ，a₂= $\frac{1}{3}$ ，a_na_n+2=1，则a₂₀₁₆+a₂₀₁₇=（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、5

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8. 函数y=asinx﹣bcosx的一条对称轴为x= $\frac{π}{4}$ ，则直线l：ax﹣by+c=0的倾斜角为（）

A、45° B、60° C、120° D、135°

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9. 已知直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为正方形，AA₁=2AB，E为AA₁的中点，则异面直线BE与CD₁所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3}{5}$

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10. 设两条直线的方程分别为x+y+a=0和 x+y+b=0，已知a、b是关于x的方程x²+x+c=0的两个实根，且0≤c≤ $\frac{1}{8}$ ，则这两条直线间距离的最大值和最小值分别为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ ， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ ， $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$

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11.
如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N^*）个点，相应的图案中总的点数记为a_n ，则 $\frac{9}{a_{2} a_{3}}$ + $\frac{9}{a_{3} a_{4}}$ + $\frac{9}{a_{4} a_{5}}$ +…+ $\frac{9}{a_{2015} a_{2016}}$ =（）

A、 $\frac{2012}{2013}$ B、 $\frac{2013}{2012}$ C、 $\frac{2014}{2015}$ D、 $\frac{2014}{2013}$

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12. 已知曲线 $\frac{| x |}{2}$ ﹣ $\frac{| y |}{3}$ =1与直线y=2x+m有两个交点，则m的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B、（﹣4，4） C、（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D、（﹣3，3）

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二、填空题

13. 一个几何体的三视图如图所示，若其正视图、侧视图的轮廓都是边长为1的菱形，俯视图是边长为1的正方形，则该几何体的体积为．

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14. 已知0＜x＜1，则函数y= $\frac{4}{x}$ + $\frac{1}{1 - x}$ 的最小值为．

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15. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} x + 2 y \leq 1 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则ω= $\frac{4 x + 2 y - 16}{x - 3}$ 的取值范围是．

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16. 在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设a，b，c，p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F，一同学已正确算的OE的方程：（ $\frac{1}{b}$ ﹣ $\frac{1}{c}$ ）x+（ $\frac{1}{p}$ ﹣ $\frac{1}{a}$ ）y=0，请你求OF的方程：（）x+（ $\frac{1}{p}$ ﹣ $\frac{1}{a}$ ）y=0．

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三、解答题

17. 已知两条直线l₁：ax﹣by+4=0，l₂：（a﹣1）x+y+b=0，求满足下列条件的a，b值．

(1)、l₁⊥l₂且l₁过点（﹣3，﹣1）；

(2)、l₁∥l₂且原点到这两直线的距离相等．

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18. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角．

(1)、求B﹣A的值；

(2)、求sinA+sinC的取值范围．

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19. 设数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3ⁿ^﹣¹a_n= $\frac{n}{3}$ ，n∈N^* ．

(1)、求数列{a_n}的通项；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{a_{n}}$ ，求数列{b_n}的前n项和S_n ．

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20. 某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

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21. 对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．已知f（x）=ax²+（b+1）x+b﹣1（a≠0）．

(1)、当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；

(2)、若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的范围；

(3)、在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+ $\frac{1}{2 a^{2} + 1}$ 对称，求b的最小值．

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22. 如图，在底面是正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

(1)、求证：BD⊥FG；

(2)、确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；

(3)、当二面角B﹣PC﹣D的大小为 $\frac{2 π}{3}$ 时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

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