2015-2016学年河南省周口市高一下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2016-09-21 类型：期末考试

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一、选择题

1. 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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2. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是（）

A、 $\vec{a}$ = $\vec{b}$ B、如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行，则 $\vec{a}$ = $\vec{b}$ C、 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =1 D、 ${\vec{a}}^{2} = {\vec{b}}^{2}$

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3. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号001，002，…，699，700．从中抽取70个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是（）

A、607 B、328 C、253 D、007

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4. 已知α、β都是锐角，tanα=2，tanβ=3，那么α+β等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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5. 有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）

A、a₁+x₀（a₃+x₀（a₀+a₂x₀））的值 B、a₃+x₀（a₂+x₀（a₁+a₀x₀））的值 C、a₀+x₀（a₁+x₀（a₂+a₃x₀））的值 D、a₂+x₀（a₀+x₀（a₃+a₁x₀））的值

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7. 已知向量 $\vec{a}$ =（cosθ，sinθ），向量 $\vec{b}$ =（ $\sqrt{3}$ ，﹣1）则|2 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |的最大值，最小值分别是（）

A、4 $\sqrt{2}$ ，0 B、4，4 $\sqrt{2}$ C、16，0 D、4，0

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8.
函数y=Asin（ωx+φ）（ A＞0，ω＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则该函数的表达式为（）

A、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{5 π}{6})$ B、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{5 π}{6})$ C、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$

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9. 若0＜α＜ $\frac{π}{2}$ ，﹣ $\frac{π}{2}$ ＜β＜0，cos（ $\frac{π}{4}$ +α）= $\frac{1}{3}$ ，cos（ $\frac{π}{4}$ ﹣ $\frac{β}{2}$ ）= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则cos（α+ $\frac{β}{2}$ ）=（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$ D、﹣ $\frac{\sqrt{6}}{9}$

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10. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log_2XY=1的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{5}{36}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的最小正周期是π，若将其图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）

A、关于直线x= $\frac{π}{12}$ 对称 B、关于直线x= $\frac{5 π}{12}$ 对称 C、关于点（ $\frac{π}{12}$ ，0）对称 D、关于点（ $\frac{5 π}{12}$ ，0）对称

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12. 设△ABC的三个内角A，B，C，向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \sin A, \sin B)$ ， $\vec{n} = (\cos B, \sqrt{3} \cos A)$ ，若 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ =1+cos（A+B），则C=（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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二、填空题

13. 如表是某单位1﹣4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是 $\hat{y}$ =﹣0.7x+a，由此可预测该单位第5个月的用水量是百吨．
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5

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14. 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为．
（注：方差 $S^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}]$ ，其中 $\bar{x}$ 为x₁ ， x₂ ， …，x_n的平均数）

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15.
如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是．

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16. 下面有五个命题：
①函数y=sin⁴θ﹣cos⁴θ的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是 ${α | α = \frac{k π}{2} ， k \in z}$ ；
③把 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 得到y=3sin2x的图象；
④函数 $y = 3 \sin (x - \frac{π}{2})$ 在[0，π]是减函数；
其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）

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三、解答题

17. 已知角α终边上一点P（﹣4，3 ），求 $\frac{\cos (\frac{3 π}{2} + α) \sin (- 5 π - α)}{\cos (6 π - α) \sin (\frac{π}{2} + α) \tan (- 3 π + α)}$ ．

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18. 某校从高一年级学生中随机抽取50名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、若该校高一年级共有学生1000人，试估计成绩不低于60分的人数；

(2)、为了帮助学生提高数学成绩，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率．

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19. 飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海波25000米，速度为3000米/分，飞行员先在点A看到山顶C的俯角为30°，经过8分钟后到达点B，此时看到山顶C的俯角为60°，则山顶的海拔高度为多少米．（参考数据： $\sqrt{2}$ =1.414， $\sqrt{3}$ =1.732， $\sqrt{6}$ =2.449）．

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20. 设函数f（x）=x²+2ax﹣b²+4

(1)、若a是从0，1，2三个数中任取的一个数，b是从﹣2，﹣1，0，1，2五个数中任取的一个数，求函数f（x）有零点的概率；

(2)、若a是从区间[﹣3，3]上任取的一个数，b是从区间[0，3]上任取的一个数，求函数g（x）=f（x）+5无零点的概率．

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21. 已知 $\vec{a}$ =（cosα，sinα）， $\vec{b}$ =（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．

(1)、若| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |= $\sqrt{2}$ ，求证： $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ；

(2)、设 $\vec{c}$ =（0，1），若 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $\vec{c}$ ，求α，β的值．

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22. 已知函数f（x）=2a•sinωxcosωx+2 $\sqrt{3}$ cos²ωx﹣ $\sqrt{3}$ +1（a＞0，ω＞0）的最大值为3，最小正周期为π．

(1)、求函数f（x）的单调递增区间．

(2)、若f（θ）= $\frac{7}{3}$ ，求sin（4θ+ $\frac{π}{6}$ ）的值．

(3)、若存在区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．

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月份x	1	2	3	4
用水量y	4.5	4	3	2.5