2015-2016学年河南省南阳市高一下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2016-09-20 类型：期末考试

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一、选择题

1. 学校为了解高二年级1201名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）

A、10 B、20 C、30 D、40

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2. cos1050°的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、﹣ $\frac{1}{2}$

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3.
如图是南阳市某中学在会操比赛中七位评委为甲、乙两班打出的分数的茎叶图（其中m为数字0﹣9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两个班级的平均分分别为 $\bar{x_{甲}}$ ， $\bar{x_{乙}}$ ，则一定有（）

A、 $\bar{x_{甲}}$ ＞ $\bar{x_{乙}}$ B、 $\bar{x_{甲}}$ ＜ $\bar{x_{乙}}$ C、 $\bar{x_{甲}}$ = $\bar{x_{乙}}$ D、 $\bar{x_{甲}}$ ， $\bar{x_{乙}}$ 的大小不确定

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4. 若sin（π﹣α）﹣cos（π+α）= $\frac{1}{5}$ ，则sin（ $\frac{3 π}{2}$ ﹣α）cos（ $\frac{π}{2}$ +α）等于（）

A、 $\frac{12}{25}$ B、﹣ $\frac{12}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、﹣ $\frac{24}{25}$

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5. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足|3 $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ |= $\sqrt{7}$ ，则|3 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=（）

A、1 B、4 C、2 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{13}$

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6. 若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{10}$

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7. 下列说法中，正确的个数为（）
（1） $\vec{A B} + \vec{M B} + \vec{B C} + \vec{O M} + \vec{C O} = \vec{A B}$
（2）已知向量 $\vec{a}$ =（6，2）与 $\vec{b}$ =（﹣3，k）的夹角是钝角，则k的取值范围是k＜0
（3）若向量 $\vec{e_{1}} = (2, - 3), \vec{e_{2}} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ 能作为平面内所有向量的一组基底
（4）若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影为 $| \vec{a} |$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则以下步骤可以得到函数f（x）的图象的是（）

A、将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 $\frac{1}{2}$ ，然后再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、将y=sinx的图象上的点纵坐标不变，横坐标变成原来的 $\frac{1}{2}$ ，然后再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位

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9.
运行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{32}$

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10. △ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，则△ABC中一定是（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形

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11. 已知函数f（x）=cosωx（sinωx+ $\sqrt{3}$ cosωx）（ω＞0），如果存在实数x₀ ，使得对任意的实数x，都有f（x₀）≤f（x）≤f（x₀+2016π）成立，则ω的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2016 π}$ B、 $\frac{1}{4032 π}$ C、 $\frac{1}{2016}$ D、 $\frac{1}{4032}$

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12. 已知△ABC内一点O满足 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C}$ = $\vec{0}$ ，若△ABC内任意投一个点，则该点△OAC内的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示，在这些用户中，用电量落在区间[150，250）内的户数为．

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14. 如图所示，在半径为7，圆心角为 $\frac{π}{4}$ 的扇形铁皮ADE上截去一个半径为3的小扇形ABC，则剩下扇环的面积为．

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15. 在等腰直角三角形ABC中，已知AB=AC=1，E，F分别是边AB，AC上的点，且 $\vec{A E}$ =m $\vec{A B}$ ， $\vec{A F}$ =n $\vec{A C}$ ，其中m，n∈（0，1）且m+2n=1，若EF，BC的中点分别为M，N，则| $\vec{M N}$ |的最小值是．

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16. 已知定义域为R的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣sin4x的零点的个数为．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{O A}$ =（3，﹣4）， $\vec{O B}$ =（6，﹣3）， $\vec{O C}$ =（5﹣x，﹣3﹣y）， $\vec{O D}$ =（4，1）

(1)、若四边形ABCD是平行四边形，求x，y的值；

(2)、若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．

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18. 某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：
年份
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9

(1)、求y关于t的线性回归方程；

(2)、利用（1）中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ． $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ ．
参考数据：（﹣3）×（﹣1.4）+（﹣2）×（﹣1）+（﹣1）×（﹣0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14．

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19. 已知向量 $\vec{a}$ =（cosx，sinx）， $\vec{b}$ =（ $\sqrt{3}$ sinx，sinx），x∈R设函数f（x）= $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ﹣ $\frac{1}{2}$

(1)、求函数f（x）的最小正周期；

(2)、求函数f（x）在[0， $\frac{π}{2}$ ]上的最大值和最小值．

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20. 某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米²）如表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9

(1)、从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率

(2)、从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．

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21. 在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x²+（x+1）p+1=0的两个实根．

(1)、求角C；

(2)、求实数p的取值集合．

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22. 函数y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值﹣3．

(1)、求此函数解析式；

(2)、写出该函数的单调递增区间；

(3)、是否存在实数m，满足不等式Asin（ $ω \sqrt{- m^{2} + 2 m + 3} + ϕ$ ）＞Asin（ $ω \sqrt{- m^{2} + 4} + ϕ$ ）？若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．

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年份	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

	A	B	C	D	E
身高	1.69	1.73	1.75	1.79	1.82
体重指标	19.2	25.1	18.5	23.3	20.9