2015-2016学年广东省肇庆市高一下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2016-09-20 类型：期末考试

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一、选择题

1. 与60°相等的弧度数是（）

A、60π B、6π C、π D、 $\frac{π}{3}$

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2. 已知向量 $\vec{a}$ =（2，1）， $\vec{b}$ =（﹣3，4），则 $2 \vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ 的结果是（）

A、（7，﹣2） B、（1，﹣2） C、（1，﹣3） D、（7，2）

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3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=30°，b=2，则 $\frac{a}{sinA}$ 的值是（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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4. 已知等比数列{a_n}满足a₁+a₂=3，a₂+a₃=6，则a₇=（）

A、64 B、81 C、128 D、243

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5. 在△ABC中，三顶点分别为A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部及其边界上运动，则m=y﹣x的取值范围为（）

A、[1，3] B、[﹣3，1] C、[﹣1，3] D、[﹣3，﹣1]

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6. 在△ABC中，已知| $\vec{A B}$ |=| $\vec{A C}$ |=4且 $\vec{A B}$ • $\vec{A C}$ =8，则该三角形是（）

A、等边三角形 B、等腰直角三角形 C、等腰三角形 D、不能判断形状

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7. 我们把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图）
则第七个三角形数是（）

A、27 B、28 C、29 D、30

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8. 化简 $\frac{\cos (π + α) \cos (\frac{11 π}{2} - α)}{\cos (π - α) \sin (\frac{9 π}{2} + α)}$ ，得到的结果是（）

A、﹣sinα B、cosα C、﹣tanα D、﹣ $\frac{\cos α}{\sin α}$

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9. 若α∈[0， $\frac{π}{2}$ ]，sin（α﹣ $\frac{π}{6}$ ）= $\frac{3}{5}$ ，则cosα的值是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} - 3}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} + 3}{10}$

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10. 函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（11）的值是（）

A、2+2 $\sqrt{2}$ B、2﹣2 $\sqrt{2}$ C、0 D、﹣1

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11. 设 $\vec{O A}$ =（1，﹣2）， $\vec{O B}$ =（a，﹣1）， $\vec{O C}$ =（﹣b，0）（a＞0，b＞0，O为坐标原点），若A、B、C三点共线，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、8 D、9

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12. 对实数a与b，定义新运算“⊗”： $a \otimes b = {\begin{matrix} a ， a - b \leq 1 \\ b ， a - b ＞ 1 \end{matrix}$ ．设函数f（x）=（x²﹣2）⊗（x﹣x²），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2] \cup (- 1 ， \frac{3}{2})$ B、 $(- \infty ， - 2] \cup (- 1 ， - \frac{3}{4})$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{4}) \cup [\frac{1}{4} ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， - \frac{3}{4}) \cup [\frac{1}{4} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 函数f（x）= $\sqrt{2}$ cos（πx﹣ $\frac{π}{6}$ ）的最小正周期是．

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14. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致．如某一问题：现有扇形田，下周长（弧长）20步，径长（两段半径的和）24步，则该扇形田的面积为平方米．

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15. 如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠C=120°，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积是．

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16. 设x，m，n，y成等差数列，x，p，q，y成等比数列，则 $\frac{{(m + n)}^{2}}{p q}$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 数列

(1)、在等差数列{a_n}中，a₆=10，S₅=5，求该数列的第8项a₈；

(2)、在等比数列{b_n}中，b₁+b₃=10，b₄+b₆= $\frac{5}{4}$ ，求该数列的前5项和S₅ ．

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18. 已知α是第三象限角，且sinα=﹣ $\frac{3}{5}$ ．

(1)、求tanα与tan（α﹣ $\frac{π}{4}$ ）的值；

(2)、求cos2α的值．

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19. 已知函数f（x）=sin2x+cos2x+1．

(1)、求f（x）的递减区间；

(2)、当x∈[﹣ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{4}$ ]时，求f（x）的最值，并指出取得最值时相应的x的值．

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20. 设数列{a_n}的前n项和为S_n=n² ， {b_n}为等比数列，且a₁=b₁ ， b₂（a₂﹣a₁）=b₁ ．

(1)、求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．

(2)、设c_n=a_n•b_n ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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21.
某通讯公司需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且OB=（1+ $\sqrt{3}$ ）百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足∠AOC=75°，∠AOB=30°，∠BOC=45°．设OA=x（3≤x≤6）百米，OC=y百米．

(1)、试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；

(2)、当x取何值时？整个中转站的占地面积S_△_OAC最小，并求出其面积的最小值．

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22. 已知数列{a_n}满足 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ，n∈N^* ．

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n}} - 1}$ 为等比数列；

(2)、是否存在互不相等的正整数m，s，t，使m，s，t成等差数列，且a_m﹣1，a_s﹣1，a_t﹣1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t；如果不存在，请说明理由．

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