2015-2016学年广东省广州市南沙区高一下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2016-09-20 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知a∈R，b∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $\frac{a}{b}$ ＞1 B、a²＞b² C、（ $\frac{1}{2}$ ）^a＜（ $\frac{1}{2}$ ）^b D、lg（a﹣b）＞0

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2. 角α的终边上有一点（1，﹣2），则sinα=（）

A、﹣ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、﹣ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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3. cos（﹣ $\frac{16 π}{3}$ ）的值为（）

A、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、﹣ $\frac{1}{2}$

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4. 若tanα=2，则 $\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + \cos α}$ =（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5.
如图，在△ABC中，AB=AC=BC=2，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ =（）

A、1 B、﹣1 C、2 D、﹣2

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6. 设平面向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（﹣2，y），若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则|2 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |等于（）

A、4 B、5 C、 $3 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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7. 在等差数列{a_n}中，a₃+a₈=8，则S₁₀=（）

A、20 B、40 C、60 D、80

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8. 为了得到函数y=cos（ $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{π}{3}$ ）的图象，只要把y=cos $\frac{1}{2}$ x的图象上所有的点（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度

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9. 若关于x的方程x²+ax+a²﹣a﹣2=0的一根大于1，另一根小于1，则a的取值范围为（）

A、0＜a＜1 B、a＞﹣1 C、﹣1＜a＜1 D、a＜1

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10. 已知cosα= $\frac{12}{13}$ ，α∈（ $\frac{3}{2}$ π，2π），则cos（α﹣ $\frac{π}{4}$ ）的值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{13}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{13}$ C、 $\frac{17 \sqrt{2}}{26}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{26}$

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11.
已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π≤φ≤π）一个周期的图象（如图），则这个函数的一个解析式为（）

A、 $y = 2 \sin (\frac{3}{2} x + \frac{π}{2})$ B、 $y = 2 \sin (3 x + \frac{π}{6})$ C、 $y = 2 \sin (3 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = 2 \sin (3 x - \frac{π}{2})$

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12. 在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a∈R，a*0=a；
（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
则函数f（x）=（e^x）* $\frac{1}{e^{x}}$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、6 D、8

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二、填空题

13. 不等式﹣x²﹣2x+3＞0的解集为；（用区间表示）

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14. 已知cosα+sinα= $\frac{1}{2}$ ，则sin2α= ．

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15. 已知x，y为正数，且x+y=20，则m=lgx+lgy的最大值为．

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16. 如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，则A，B两点的距离为 m．

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三、解答题：

17. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=3，| $\vec{b}$ |= $\sqrt{2}$ ，（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）（ $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ ）=4．

(1)、求 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ ；

(2)、求| $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |．

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18. 已知函数f（x）= $\sqrt{3}$ sinxcosx﹣sin²x+ $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求f（x）的最小正周期值；

(2)、求f（x）的单调递增区间；

(3)、求f（x）在[0， $\frac{π}{2}$ ]上的最值及取最值时x的值．

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19. 已知数列{a_n}的前n项和为，且S_n=n²+n，

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、令b_n=3^an ，求证：数列{b_n}是等比数列．

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20. 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
资金
单位产品所需资金（百元）
空调机
洗衣机
月资金供应量（百元）
成本
30
20
300
劳动力（工资）
5
10
110
单位利润
6
8

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21. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，c= $\sqrt{2}$ ，cosA=﹣ $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ．

(1)、求sinC和b的值；

(2)、求cos（2A+ $\frac{π}{3}$ ）的值．

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22. 已知正数数列{a_n}的前n项和为S_n ，点P（a_n ， S_n）在函数f（x）= $\frac{1}{2}$ x²+ $\frac{1}{2}$ x上，已知b₁=1，3b_n﹣2b_n_﹣₁=0（n≥2，n∈N^*），

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若c_n=a_nb_n ，求数列{c_n}的前n项和T_n；

(3)、是否存在整数m，M，使得m＜T_n＜M对任意正整数n恒成立，且M﹣m=9，说明理由．

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资金	单位产品所需资金（百元）
资金	空调机	洗衣机	月资金供应量（百元）
成本	30	20	300
劳动力（工资）	5	10	110
单位利润	6	8