2015-2016学年广东省广州市海珠区高一下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2016-09-20 类型：期末考试

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一、选择题

1. 对于a∈R，下列等式中恒成立的是（）

A、cos（﹣α）=﹣cosα B、sin（﹣α）=﹣sinα C、sin（90°﹣α）=sinα D、cos（90°﹣α）=cosα

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2. 下列各式中，值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、sin15°cos15° B、cos² $\frac{π}{12}$ ﹣sin² $\frac{π}{12}$ C、cos12°sin42°﹣sin12°cos42° D、 $\frac{2 \tan {22.5}^{\circ}}{1 - \tan^{2} {22.5}^{\circ}}$

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3. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=135°，B=30°，a= $\sqrt{2}$ ，则b等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4. 已知| $\vec{a}$ |=2，| $\vec{b}$ |=4，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、﹣2 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、﹣ $\sqrt{3}$

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5. 在等差数列{a_n}中，已知S₉=90，则a₃+a₅+a₇=（）

A、10 B、20 C、30 D、40

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6. 不等式组 $\{\begin{matrix} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ 所表示的平面区域的面积为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7. 函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）

A、y=2sin（2x+ $\frac{2 π}{3}$ ） B、y=2sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ） C、y=2sin（ $\frac{x}{2}$ ﹣ $\frac{π}{3}$ ） D、y=2sin（2x﹣ $\frac{π}{3}$ ）

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8. 已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（）

A、a+b≥2 $\sqrt{a b}$ B、a²+b²＞2ab C、 $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ ≥2 D、| $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ |≥2

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9. 在△ABC中，若sin²A≤sin²B+sin²C﹣ $\sqrt{3}$ sinBsinC，则角A的取值范围是（）

A、（0， $\frac{π}{2}$ ] B、[ $\frac{π}{6}$ ，π） C、（0， $\frac{π}{6}$ ] D、[ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{2}$ ）

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10. 若角α的终边过点（﹣1，2），则tan $\frac{α}{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ 或 $\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 或 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

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11. 把函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，且g（﹣x）=g（x），则（）

A、y=g（x）在（0， $\frac{π}{2}$ ）单调递增，其图象关于直线x= $\frac{π}{4}$ 对称 B、y=g（x）在（0， $\frac{π}{2}$ ）单调递增，其图象关于直线x= $\frac{π}{2}$ 对称 C、y=g（x）在（0， $\frac{π}{2}$ ）单调递减，其图象关于直线x= $\frac{π}{4}$ 对称 D、y=g（x）在（0， $\frac{π}{2}$ ）单调递减，其图象关于直线x= $\frac{π}{2}$ 对称

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12. 在△ABC中，若| $\vec{A B}$ + $\vec{A C}$ |=| $\vec{A B}$ ﹣ $\vec{A C}$ |，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则 $\vec{A E}$ • $\vec{A F}$ =（　　）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{10}{9}$ C、 $\frac{25}{9}$ D、 $\frac{26}{9}$

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二、填空题

13. 已知| $\vec{a}$ |=2，| $\vec{b}$ |=1， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角θ为60°，且| $\vec{a}$ ﹣k $\vec{b}$ |= $\sqrt{3}$ ，则实数k的值为．

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14. 已知等比数列{a_n}的公比为正数，且a₁=2，4a₂•a₈=a₄² ，则a₃= ．

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15. 已知sin（π﹣α）= $\frac{4}{5}$ ，且α是第一象限的角，则cos（α+ $\frac{π}{4}$ ）的值为．

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16. 已知关于x的不等式ax²﹣bx+c≥0的解集为{x|1≤x≤2}，则cx²+bx+a≤0的解集为．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{O A}$ =（4，3）， $\vec{O B}$ =（2，﹣1），O为坐标原点，P是直线AB上一点．

(1)、若点P是线段AB的中点，求向量 $\vec{O A}$ 与向量 $\vec{O B}$ 夹角θ的余弦值；

(2)、若点P在线段AB的延长线上，且| $\vec{A P}$ |= $\frac{3}{2}$ | $\vec{P B}$ |，求点P的坐标．

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18. 已知{a_n}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为S_n ，且S₂=3，S₄=15．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若数列{b_n}是等差数列，且b₃=a₃ ， b₅=a₅ ，试求数列{b_n}的前n项和M_n ．

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19. 一个化肥厂生产甲种混合肥料1车皮、乙种混合肥料1车皮所需要的主要原料如表：
原料
种类
磷酸盐（单位：吨）
硝酸盐（单位：吨）
甲
4
20
乙
2
20
现库存磷酸盐8吨、硝酸盐60吨，计划在此基础上生产若干车皮的甲、乙两种混合肥料．

(1)、设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)、若生产1车皮甲种肥料，利润为3万元；生产1车皮乙种肥料，利润为2万元．那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？

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20. 已知向量 $\vec{a}$ =（ $2 \sin \frac{x}{4}$ ，cos $\frac{x}{2}$ ）， $\vec{b}$ =（cos $\frac{x}{4}$ ，1），且f（x）= $\vec{a}$ • $\vec{b}$ ．

(1)、求函数f（x）的最小正周期；

(2)、求函数f（x）在区间[﹣π，π]上的最大值和最小值及取得最值时x的值．

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21. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=acosc+ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ csinA．

(1)、求角A的大小；

(2)、当a=3时，求△ABC周长的取值范围．

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22. 已知数列{a_n}的各项均为正数，前n和为S_n ，且S_n= $\frac{(a_{n} + 2) (a_{n} - 1)}{2}$ （n∈N^*）．

(1)、求证：数列{a_n}是等差数列；

(2)、设b_n=a_n•3ⁿ ，求数列{b_n}的前n项的和T_n ．

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