2015-2016学年山东省滨州市高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-09-19 类型：期末考试

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一、选择题

1. 复数 $\frac{2 i}{1 + i}$ （i是虚数单位）在复平面所对应的点位于的象限（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设集合M={x||2x﹣1|≤3}，N={x∈Z|1＜2^x＜8}，则M∩N=（）

A、（0，2] B、（0，2） C、{1，2} D、{0，1，2}

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3. “m=1”是“直线mx﹣y=0和直线x+m²y=0互相垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设x，y满足 ${\begin{matrix} 2 x + y \geq 4 \\ x - y \geq - 1 \\ x - 2 y \leq 2 \end{matrix}$ ，则z=x+y（）

A、有最小值2，最大值3 B、有最小值2，无最大值 C、有最大值3，无最小值 D、既无最小值，也无最大值

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5. 设n= $\int \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}$ 3x²dx，则（x﹣ $\frac{1}{2 x}$ ）ⁿ的展开式中的常数项为（）

A、﹣ $\frac{35}{8}$ B、 $\frac{35}{8}$ C、﹣70 D、70

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6. 函数f（x）= $\log_{\frac{1}{2}}$ cosx，（﹣ $\frac{π}{2}$ ＜x＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7.
一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为2 $\sqrt{3}$ 的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为（）

A、6+π B、 $4 \sqrt{3} + π$ C、6+4π D、 $4 \sqrt{3} + 4 π$

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8. 将函数f（x）=2sin（2x﹣ $\frac{π}{3}$ ）的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递减区间是（）

A、[﹣ $\frac{5 π}{12}$ ，0] B、[﹣ $\frac{π}{3}$ ，0] C、[0， $\frac{π}{3}$ ] D、[ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{2}$ ]

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9. 已知函数f（x）=2^x+x，g（x）=log₂x+x，h（x）=log₂x﹣2的零点依次为a，b，c，则（）

A、a＜b＜c B、c＜b＜a C、c＜a＜b D、b＜a＜c

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10. 已知抛物线y²=8x的准线与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）相交于A、B两点，双曲线的一条渐近线方程是y= $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（　　）

A、 $\frac{x^{2}}{36}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{6}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{16}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{3}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{6}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{32}$ =1 D、 $\frac{x^{2}}{3}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{16}$ =1

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二、填空题

11. 执行如图所示的程序框图，设当箭头a指向①处时，输出的S的值为m，当箭头a指向②处时，输出的S的值为n，则m+n=

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12. 若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有个．

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13. 设函数f（x）= $\frac{x}{e^{x}}$ ，f′（x）为f（x）的导函数，定义f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x）（n∈N^*），经计算f₁（x）= $\frac{1 - x}{e^{x}}$ ，f₂（x）= $\frac{x - 2}{e^{x}}$ ，f₃（x）= $\frac{3 - x}{e^{x}}$ ，…，根据以上事实，由归纳可得：当n∈N^*时，f_n（x）= ．

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14. 在平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，∠DAB= $\frac{π}{3}$ ，点E，F分别在边AD，BC上，且 $\vec{A D}$ =3 $\vec{A E}$ ， $\vec{B F}$ =2 $\vec{F C}$ ，则 $\vec{A B}$ • $\vec{E F}$ 的值为．

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15. 对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”．给定下列函数：①f（x）= $\frac{1}{x + 1}$ ，②f（x）=（x+1）²；③f（x）=x³；④f（x）=sin（x+1），其中的“准奇函数”是（写出所有“准奇函数”的序号）

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三、解答题

16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，sinB= $\frac{5}{13}$ ，

(1)、求 $\frac{1}{\tan A}$ + $\frac{1}{\tan C}$ 的值；

(2)、若 $\vec{B A}$ • $\vec{B C}$ =12，求a+c的值．

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17. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)、证明：PB∥平面AEC；

(2)、已知AP=AB=1，AD= $\sqrt{3}$ ，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

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18. 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1≤t≤30，t∈N^*）的旅游人数f（t）（单位：万人）近似地满足f（t）=4+ $\frac{1}{t}$ ，而人均日消费俄g（t）（单位：元）近似地满足g（t）= ${\begin{matrix} t + 100 ， 1 \leq t \leq 20 \\ - t + 140 ， 20 < t \leq 30 \end{matrix}$ ．

(1)、试求所有游客在该城市旅游的日消费总额W（t）（单位：万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N^*）的函数表达式；

(2)、求所有游客在该城市旅游的日消费总额的最小值．

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19. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₂=3，S₆=36．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、令b_n= $\frac{4 n}{a_{n}^{2} a_{n + 1}^{2}}$ ，求数列{a_n}的前n项和T_n ．

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20. 设函数f（x）=lnx﹣ $\frac{1}{2}$ ax²﹣2x，其中a≤0．

(1)、若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+b，求a﹣2b的值；

(2)、讨论函数f（x）的单调性；

(3)、设函数g（x）=x²﹣3x+3，如果对于任意的x，t∈（0，1]，都有f（x）≤g（t）恒成立，求实数a的取值范围．

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21. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+ $\sqrt{2}$ =0相切，过点F₂的直线l与椭圆C相交于M，N两点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若 $\vec{M F_{2}}$ =3 $\vec{F_{2} N}$ ，求直线l的方程；

(3)、求△F₁MN面积的最大值．

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