2015-2016学年内蒙古包头市高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-09-19 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合M=﹛x|﹣3＜x≤5﹜，N=﹛x|x＜﹣5或x＞5﹜，则M∪N=（　　）

A、﹛x|x＜﹣5或x＞﹣3﹜ B、﹛x|﹣5＜x＜5﹜ C、﹛x|﹣3＜x＜5﹜ D、﹛x|x＜﹣3或x＞5﹜

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2. 设a，b，c∈R，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是（）

A、ad﹣bc=0 B、ac﹣bd=0 C、ac+bd=0 D、ad+bc=0

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3. 已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ²），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）

A、0.6 B、0.4 C、0.3 D、0.2

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4. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）

A、3 B、4 C、5 D、8

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5. 若变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 3 \leq 3 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ y \geq 1 \end{matrix}$ ，则z=2x﹣y的最大值为（）

A、﹣1 B、0 C、3 D、4

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、y=±2x B、y=± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ x C、y=± $\frac{1}{2}$ x D、y=± $\sqrt{2}$ x

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7. （x+ $\frac{a}{x}$ ）⁵（x∈R）展开式中x³的系数为10，则实数a等于（）

A、﹣1 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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8. 已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则 $(\vec{B D} + \vec{B E}) \cdot (\vec{B E} - \vec{C E})$ 的值为（）

A、﹣1 B、- $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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9. 设偶函数f（x）满足f（x）=2^x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）

A、{x|x＜﹣2或x＞4} B、{x|x＜0或x＞4} C、{x|x＜0或x＞6} D、{x|x＜﹣2或x＞2}

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10. 如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角60°的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（）

A、8π B、4π C、3π D、2π

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11. 设F为抛物线C：y²=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，若抛物线的准线与x轴的交点为P，则△PAB的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{9}{4}$

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} - x^{2} + 2 x ， x \leq 0 \\ \ln (x + 1) ， x > 0 \end{matrix}$ ，若对x∈R都有|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，0] B、[﹣2，0] C、[﹣2，1] D、（﹣∞，1]

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二、填空题

13. 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；
②若α外的一条直线I与α内的一条直线平行，则I∥α
③设α∩β=I，若α内有一条直线垂直于I，则α⊥β
④直线I⊥α的充要条件是I与α内的两条直线垂直．
其中所有的真命题的序号是．

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14. 正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x²和y=x²上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是．

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15. 已知二次函数y=f（x）的两个零点为0，1，且其图象的顶点恰好在函数y=log₂x的图象上．函数f（x）在x∈[0，2]上的值域是．

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16. 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．

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三、解答题

17. 设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₁≠0，2a_n﹣a₁=S₁•S_n ， n∈N^* ．

(1)、求a₁a₂ ，并求数列{a_n}的通项公式，

(2)、求数列{na_n}的前n项和T_n ．

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18. 空气质量指数PM2.5（单位：μg/m³）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：
PM2.5
日均浓度
0～35
35～75
75～115
115～150
150～250
＞250
空气质量级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
空气质量类型
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：

(1)、根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）

(2)、在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；

(3)、在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．

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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．

(1)、证明PC⊥AD；

(2)、求二面角A﹣PC﹣D的正弦值．

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20. 已知动点M（x，y）到直线ι：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．

(1)、求动点M的轨迹C的方程；

(2)、过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求点A的坐标．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x + k}{e^{x}}$ (k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．

(1)、求k的值；

(2)、求f（x）的单调区间；

(3)、设g（x）=（x²+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e^﹣² ．

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22. 如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：

(1)、BE=EC；

(2)、AD•DE=2PB² ．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正非负半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，圆的极坐标方程为ρ=4sinθ．

(1)、求直线l被圆截得的弦长；

(2)、从极点作圆C的弦，求各弦中点的极坐标方程．

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24. 设函数f（x）=|x+ $\frac{1}{a}$ |+|x﹣a|（a＞0）．

(1)、证明：f（x）≥2；

(2)、若f（3）＜5，求a的取值范围．

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