2015-2016学年辽宁省抚顺市六校协作体高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-09-19 类型：期末考试

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一、选择题

1. 命题“∃x∈R，x²﹣x+1＜0”的否定是（）

A、∀x∈R，x²﹣x+1≥0 B、∀x∈R，x²﹣x+1＞0 C、∃x∈R，x²﹣x+1≥0 D、∃x∈R，x²﹣x+1＞0

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2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₂=18﹣a₇ ， S₈=（）

A、18 B、36 C、54 D、72

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3. 下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（　　）

A、a＞b+1 B、a＞b﹣1 C、 $a^{2}$ ＞ $b^{2}$ D、 $a^{3}$ ＞ $b^{3}$

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4. 对于任意实数x，不等式（a﹣2）x²﹣2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则实数a取值范围（　　）

A、（﹣∞，2） B、（﹣∞，2] C、（﹣2，2） D、（﹣2，2]

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5. 已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（ a+b+c）=ab，则∠C的大小为（　　）

A、60° B、90° C、120° D、150°

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6. 设变量x，y满足 ${\begin{matrix} \begin{matrix} x - y \leq 10 \\ 0 \leq x + y \leq 20 \end{matrix} \\ 0 \leq y \leq 15 \end{matrix}$ ，则2x+3y的最大值为（）

A、20 B、35 C、45 D、55

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7. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y₀）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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8. 下列结论错误的是（　　）

A、命题“若p，则q”与命题“若¬q，则¬p”互为逆否命题 B、命题p：∀x∈[0，1]，e^x≥1，命题q：∃x∈R，x²+x+1＜0，则p∨q为真 C、“若am²＜bm² ，则a＜b”的逆命题为真命题 D、若p∨q为假命题，则p、q均为假命题

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9. 已知{a_n}是首项为1的等比数列，S_n是{a_n}的前n项和，且9S₃=S₆ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前5项和为（）

A、 $\frac{15}{8}$ 或5 B、 $\frac{31}{16}$ 或5 C、 $\frac{31}{16}$ D、 $\frac{15}{8}$

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10. 锐角三角形ABC中，a b c分别是三内角A B C的对边设B=2A，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（）

A、（﹣2，2） B、（0，2） C、（ $\sqrt{2}$ ，2） D、（ $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ）

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11. 已知双曲线C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点到双曲线C₁的涟近线的距离是2，则抛物线C₂的方程是（　　）

A、 $x^{2}$ = $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ y B、 $x^{2}$ = $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ y C、 $x^{2}$ =8y D、 $x^{2}$ =16y

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12. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若AB边上的高为 $\frac{c}{2}$ ，且a²+b²=2 $\sqrt{2}$ ab，则C=（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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二、填空题

13. 已知双曲线的渐近线方程是y=±x，则它的离心率是．

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14. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是CD、CC₁的中点，则异面直线A₁M与DN所成的角的大小是．

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15. 已知关于x的不等式2x+ $\frac{2}{x - a}$ ≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为．

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16. 设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=﹣1，a_n+1=S_nS_n+1 ，则S_n= ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．

(1)、求cosB的值；

(2)、边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．

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18. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=10n﹣n²（n∈N^*），又b_n=|a_n|（n∈N^*）．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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19. 已知椭圆在x轴两焦点为F₁ ， F₂ ，且|F₁F₂|=10，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂= $\frac{2 π}{3}$ ，△F₁PF₂的面积为6 $\sqrt{3}$ ，求椭圆的标准方程？

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20. 如图所示，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．

(1)、求直线BE与平面ABB₁A₁所成的角的正弦值；

(2)、在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥平面A₁BE？证明你的结论．

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21. 四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，又PA=PD，∠APD=60°，E，G分别是BC，PE的中点

(1)、求证：AD⊥PE

(2)、求二面角E﹣AD﹣G的余弦值．

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由：

(3)、平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

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