2015-2016学年河南省驻马店市高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-09-19 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{x}{x - 1} \geq 0 ， x \in R}$ ，B={y|y=2^x+1，x∈R}，则∁_R（A∩B）=（）

A、（﹣∞，1] B、（﹣∞，1） C、（0，1] D、[0，1]

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2. 已知复数z₁=﹣ $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i ， z_{2} =- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ i，则下列命题中错误的是（）

A、z₁²=z₂ B、|z₁|=|z₂| C、z₁³﹣z₂³=1 D、z_l、z₂互为共轭复数

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3.
某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、4 C、2 D、 $\frac{4}{3}$

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4. 已知等比数列{a_n}，{b_n}的公比分别为q₁ ， q₂ ，则q₁=q₂是{a_n+b_n}为等比数列的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5.
执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）

A、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10}$ B、 $1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{10!}$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{11}$ D、 $1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{11!}$

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6. 平面直角坐标系中，点（3，t）和（2t，4）分别在顶点为原点，始边为x轴的非负半轴的角α，α+45°的终边上，则t的值为（　　）

A、±6或±1 B、6或1 C、6 D、1

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7. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} y \geq 0 \\ x - y \geq 0 \\ 2 x - y - 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则z= $\frac{x + y}{x + 1}$ 的取值范围是（）

A、[0， $\frac{4}{3}$ ] B、[ $\frac{1}{2}$ ，2） C、[ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{4}{3}$ ] D、[ $\frac{1}{2}$ ，+∞）

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8. 将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜ $\frac{π}{2}$ ）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x₁）﹣g（x₂）|=2的x₁、x₂ ，有|x₁﹣x₂|_min= $\frac{π}{3}$ ，则φ=（）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{6}$

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9. 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐进线与圆x²+y²﹣6y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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10. 有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（　　）

A、12 B、24 C、36 D、48

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11. 四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直， $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ =2，则该四面体体积的最大值为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、7 $\sqrt{2}$

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12. 若曲线C₁：y=ax²（a＞0）与曲线C₂：y=e^x存在公共切线，则a的取值范围为（）

A、 $[\frac{e^{2}}{8} ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{e^{2}}{8}]$ C、[ $\frac{e^{2}}{4}$ ，+∞） D、 $(0 ， \frac{e^{2}}{4}]$

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二、填空题

13. 如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x² ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于

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14. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5， $\vec{C P}$ =3 $\vec{P D}$ ， $\vec{A P}$ • $\vec{B P}$ =2，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ 的值是．

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15. 已知f（x）=lg（100^x+1）﹣x，则f（x）的最小值为．

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16. 数列{a_n}的通项a_n=n²（cos² $\frac{n π}{3}$ ﹣sin² $\frac{n π}{3}$ ），其前n项和为S_n ，则S₃₀为．

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三、解答题

17. 如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．

(1)、证明：tan $\frac{A}{2} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}$ ；

(2)、若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan $\frac{A}{2}$ +tan $\frac{B}{2}$ +tan $\frac{C}{2}$ +tan $\frac{D}{2}$ 的值．

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18. 某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表：
测试指标
[70，76）
[76，82）
[82，88）
[88，94）
[94，100]
芯片甲
8
12
40
32
8
芯片乙
7
18
40
29
6

(1)、试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；

(2)、生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，
（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．

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19. 如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A₁、C、D三点的平面记为α，BB₁与α的交点为Q．

(1)、证明：Q为BB₁的中点；

(2)、若AA₁=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，∠ADC=60°，求平面α与底面ABCD所成锐二面角的大小．

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20. 已知椭圆x²+2y²=1，过原点的两条直线l₁和l₂分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．

(1)、设A（x₁ ， y₁），C（x₂ ， y₂），用A、C的坐标表示点C到直线l₁的距离，并证明S=2|x₁y₂﹣x₂y₁|；

(2)、设l₁与l₂的斜率之积为﹣ $\frac{1}{2}$ ，求面积S的值．

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21. 设函数f （x）=（x+1）lnx﹣a （x﹣1）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e）．

(1)、求a的值；

(2)、函数f （x）能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．

(3)、当1＜x＜2时，试比较 $\frac{2}{x - 1}$ 与 $\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{\ln (2 - x)}$ 大小．

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22.
已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．

(1)、求证：AC平分∠BAD；

(2)、求BC的长．

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23. 在极坐标系中，已知圆C的圆心C（ $\sqrt{2}$ ， $\frac{π}{4}$ ），半径r= $\sqrt{3}$ ．

(1)、求圆C的极坐标方程；

(2)、若α∈[0， $\frac{π}{4}$ ），直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x=2+tcos α \\ y = 2 + t \sin α \end{matrix}$ （t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

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24. 函数f（x）= $\sqrt{| x + 1 | + | x + 2 | - a}$ ．

(1)、若a=5，求函数f（x）的定义域A；

(2)、设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁_RA）时，求证： $\frac{| a + b |}{2}$ ＜|1+ $\frac{a b}{4}$ |．

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测试指标	[70，76）	[76，82）	[82，88）	[88，94）	[94，100]
芯片甲	8	12	40	32	8
芯片乙	7	18	40	29	6