2015-2016学年广西来宾市高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-09-19 类型：期末考试

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一、选择题

1. 复数z=（3﹣2i）i，则z﹣2 $\bar{z}$ =（）

A、﹣2﹣9i B、﹣2+9i C、2﹣9i D、2+9i

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2. 已知集合A={y|y=x²}，B={x|y=lg（1﹣x）}，则A∩B=（）

A、[0，1] B、[0，1） C、（﹣∞，1） D、（﹣∞，1]

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3. 某市8所中学生参加比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（）

A、91 5.5 B、91 5 C、92 5.5 D、92 5

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4. 在等差数列{an}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）

A、﹣ $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、﹣ $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} 2^{1 - x} ， x \leq 1 \\ 1 - \log_{2} x ， x > 1 \end{matrix}$ ，则不等式f（x）≤2的解集为（）

A、（0，1]∪（2，+∞） B、[0，+∞） C、[0，1] D、（0，+∞）

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6. （x+ $\frac{a}{x}$ ）（2x﹣ $\frac{1}{x}$ ）⁵的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）

A、﹣40 B、﹣20 C、20 D、40

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7. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）

A、2cm² B、 $\sqrt{3}$ cm³ C、3 $\sqrt{3}$ cm³ D、3cm³

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8. 函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一部分如图所示，则此函数的解析式为（）

A、y=3sin（ $\frac{π}{4}$ x+ $\frac{π}{4}$ ） B、y=3sin（ $\frac{π}{4}$ x+ $\frac{3 π}{4}$ ） C、y=3sin（ $\frac{π}{2}$ x+ $\frac{π}{4}$ ） D、y=3sin（ $\frac{π}{2}$ x+ $\frac{3 π}{4}$ ）

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9. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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10. 已知P是直线；“3x+4y+13=0的动点，PA是圆C：x²+y²﹣2x﹣2y﹣2=0的一条切线，A是切点，那么△PAC的面积的最小值是（）

A、5 $\sqrt{3}$ B、4 $\sqrt{3}$ C、3 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{3}$

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11. 已知A，B，C，D均在球O的球面上，AB=BC=1，AC= $\sqrt{3}$ ，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值是 $\frac{1}{4}$ ．则球O的表面积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ π B、 $\frac{8}{3}$ π C、 $\frac{16}{3}$ π D、6π

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12. 设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

A、（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B、（﹣1，0）∪（1，+∞） C、（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D、（0，1）∪（1，+∞）

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ =（2，1）， $\vec{b}$ =（x，﹣1），且 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则x的值为．

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14. 若数列a_n}的前n项和为S_n ，对任意正整数n都有S_n=2a_n﹣1，则S₆等于．

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15. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y \leq 1 \\ x + 2 y \geq 1 \end{matrix}$ ，则目标函数z=5x+y的最大值为

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为 $\sqrt{3}$ ，则该抛物线的标准方程是．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ccosB=（2a+b）cos（π﹣C）．

(1)、求角C的大小；

(2)、若c=4，△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ，求a+b的值．

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18. 进入冬季以来，我国北方地区的雾霾天气持续出现，极大的影响了人们的健康和出行，我市环保局对该市2015年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．

(1)、求a的值；

(2)、如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从今年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为X．求X的分布列和数学期望．

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19. 如图，已知三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中，侧棱与底面垂直，AB=BC=AA₁ ， ∠ABC=90°，M是BC的中点．

(1)、求证：A₁B∥平面AMC₁；

(2)、求平面A₁B₁M与平面AMC₁所成角的锐二面角的余弦值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）过点A $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点F₁ ， F₂分别为其左右焦点．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且 $\vec{O P} ⊥ \vec{O Q}$ ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）=e^x﹣ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．

(1)、若对函数f（x）存在极小值，且极小值为0，求a的值；

(2)、若对任意x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]，不等式f（x）≥e^x（1﹣sinx）恒成立，求a的取值范围．

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22. 如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB=2AC，

(1)、求证：BE=2AD；

(2)、求函数AC=1，BC=2时，求AD的长．

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23. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： $ρ \sin (θ - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$ ，曲线C的参数方程为： ${\begin{matrix} x = 2 + 2 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{matrix}$ （α为参数）．

(1)、写出直线l的直角坐标方程；

(2)、求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

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24. 设函数f（x）=|x﹣ $\frac{4}{m}$ |+|x+m|（m＞0）

(1)、证明：f（x）≥4；

(2)、若f（2）＞5，求m的取值范围．

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