2015-2016学年北京市丰台区高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-09-19 类型：期末考试

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一、选择题

1. 复数（1+i）（1+ai）是实数，则实数a等于（）

A、2 B、1 C、0 D、﹣1

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2. x²＞0是x＞0的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也必要条件

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3. 已知数列{a_n}中， $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{1}{1 + a_{n}}$ ，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）

A、n≤2014 B、n≤2016 C、n≤2015 D、n≤2017

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4. 若点P为曲线 ${\begin{matrix} x = 1 + \cos θ \\ y = 1 + \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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5. 函数 $f (x) = \sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x$ 在区间[0，π]上的零点之和是（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{7 π}{12}$ C、 $\frac{7 π}{6}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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6. 若 $a = \int_{1}^{2} 2^{x} d x$ ， $b = \int_{1}^{2} x d x$ ， $c = \int_{1}^{2} \log_{2} x d x$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、c＜b＜a B、b＜c＜a C、c＜a＜b D、a＜b＜c

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7. 若F（c，0）为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，椭圆C与直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 交于A，B两点，线段AB的中点在直线x=c上，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 在下列命题中：
①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；
②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；
③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；
④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等．
其中真命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 在（2x﹣1）⁷的展开式中，x²的系数等于．（用数字作答）

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10. 若x，y的满足 ${\begin{matrix} x - y + 3 \geq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ x \geq 1 \end{matrix}$ ，则z=2x﹣y的最小值为．

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11. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S₇=42，则a₂+a₃+a₇= ．

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12. 在△ABC中， $A C = 1 ， B C = \sqrt{3}$ ，点M，N是线段AB上的动点，则 $\vec{C M} \cdot \vec{C N}$ 的最大值为．

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13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x} - a (x < 1) \\ \ln (x + a) (x \geq 1) \end{matrix}$ 其中a＞﹣1．

(1)、当a=0时，若f（x）=0，则x=；

(2)、若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，则a的取值范围．

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三、解答题

15. 如图，在△ABC中，AB=12， $A C = 3 \sqrt{6} ， B C = 5 \sqrt{6}$ ，点D在边BC上，且∠ADC=60°．

(1)、求cosC；

(2)、求线段AD的长．

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16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC= $\sqrt{5}$ ．

(1)、求证：CF∥平面PAB；

(2)、求证：PE⊥平面ABCD；

(3)、求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．

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17. 随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．

(1)、在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率P₁；

(2)、已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为 $\frac{3}{10}$ ，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率P₂；

(3)、该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为P₃ ．试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的P₁和P₂的值，写出P₁ ， P₂ ， P₃的大小关系（只写结果，不用说明理由）．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} + x^{2} (a < 0)$ ．

(1)、求函数y=f（x）的极值；

(2)、若存在实数x₀∈（﹣1，0），且 $x_{0} \neq - \frac{1}{2}$ ，使得 $f (x_{0}) = f (- \frac{1}{2})$ ，求实数a的取值范围．

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19. 已知定点M（1，0）和直线x=﹣1上的动点N（﹣1，t），线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．

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20. 已知数列{a_n}的各项均为正数，满足a₁=1，a_k+1﹣a_k=a_i ．（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）

(1)、求证： $a_{k + 1} - a_{k} \geq 1 (k = 1 ， 2 ， 3 ， ... ， n - 1)$ ；

(2)、若{a_n}是等比数列，求数列{a_n}的通项公式；

(3)、设数列{a_n}的前n项和为S_n ，求证： $\frac{1}{2} n (n + 1) \leq S_{n} \leq 2^{n} - 1$ ．

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